Omeomorfismo

Disambiguazione – Se stai cercando la nozione di omomorfismo in algebra astratta, vedi Omomorfismo.
Disambiguazione – Se stai cercando la nozione di Omeomorfismo nella teoria dei grafi, vedi Omeomorfismo (teoria dei grafi).
Una tazza ed una ciambella sono omeomorfi. Dalla "deformazione senza strappi" mostrata in figura si può infatti costruire un omeomorfismo fra i due oggetti.

In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modella l'idea intuitiva di "deformazione senza strappi".

La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia. Due spazi topologici X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali. In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.

Definizione

Un omeomorfismo fra due spazi topologici X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} è una funzione continua f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} che è anche biunivoca e la cui inversa f − 1 : Y → X {\displaystyle f^{-1}:Y\to X} è anch'essa continua.[1]

Una definizione equivalente è la seguente: un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} fra spazi topologici tale che un sottoinsieme A {\displaystyle A} di X {\displaystyle X} è aperto se e solo se lo è la sua immagine f ( A ) {\displaystyle f(A)} in Y {\displaystyle Y} . Brevemente, è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.

Se esiste un omeomorfismo tra X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} , i due spazi sono detti omeomorfi. La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.

Esempi

Intervalli della retta reale

Siano a < b {\displaystyle a<b} due numeri reali. La funzione

f : [ 0 , 1 ] → [ a , b ] {\displaystyle f:[0,1]\to [a,b]}
f : x ↦ a + ( b − a ) x {\displaystyle f:x\mapsto a+(b-a)x}

è un omeomorfismo. Infatti è continua, biunivoca, e la sua inversa

f − 1 : [ a , b ] → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f^{-1}:[a,b]\to [0,1]}
f − 1 : y ↦ y − a b − a {\displaystyle f^{-1}:y\mapsto {\frac {y-a}{b-a}}}

è anch'essa continua. Ogni intervallo chiuso e limitato [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} è quindi omeomorfo all'intervallo [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.

Si verifica analogamente che gli intervalli aperti ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} sono tutti omeomorfi fra loro. Non solo: un intervallo aperto è omeomorfo all'intera retta reale R {\displaystyle \mathbb {R} } tramite la funzione tangente

f : ( − π / 2 , π / 2 ) → R {\displaystyle f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R} }
f : x ↦ tan ⁡ x . {\displaystyle f:x\mapsto \tan x.}

che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente). La limitatezza non è quindi un invariante topologico: uno spazio limitato come ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Proprietà

Due spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza...). Nel linguaggio della teoria delle categorie, si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.

Note

  1. ^ M. Manetti, p. 45.

Bibliografia

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino 2006, ISBN 88-339-5548-6.
  • Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

  • (EN) homeomorphism / topological equivalence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Omeomorfismo / Omeomorfismo (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Omeomorfismo / Omeomorfismo (altra versione), su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. Modifica su Wikidata
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