Topologia degli interi equispaziati

In topologia generale, una branca della matematica, la topologia degli interi equispaziati è la topologia sull'insieme dei numeri interi generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche.[1] Questa particolare topologia è stata introdotta da Fürstenberg nel 1955 per provare l'infinità dei numeri primi.

Definizione

Per ogni coppia di interi a , b {\displaystyle a,b} poniamo a Z + b := { a n + b : n ∈ Z } {\displaystyle a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \}} , allora la topologia τ {\displaystyle \tau } degli interi equispaziati è la topologia di Z {\displaystyle \mathbb {Z} } che ha come base { a Z + b : a , b ∈ Z  con  a ≠ 0 } {\displaystyle \{a\mathbb {Z} +b:a,b\in \mathbb {Z} {\mbox{ con }}a\neq 0\}} . In altri termini gli aperti di τ {\displaystyle \tau } sono tutti e soli gli insiemi che sono unione di insiemi del tipo a Z + b {\displaystyle a\mathbb {Z} +b} con a , b {\displaystyle a,b} interi e a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} .

Proprietà

Lo spazio topologico ( Z , τ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\tau )} ha alcune interessanti proprietà:

  • L'insieme a Z + b {\displaystyle a\mathbb {Z} +b} è chiuso-aperto per ogni a , b {\displaystyle a,b} interi con a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ; usando ciò si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi, infatti detto P {\displaystyle \mathbb {P} } l'insieme dei primi si ha
Z ∖ { − 1 , + 1 } = ⋃ p ∈ P ( p Z + 0 ) {\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb {P} }(p\mathbb {Z} +0)}

se per assurdo i primi fossero finiti allora il secondo membro sarebbe chiuso, quindi { − 1 , 1 } {\displaystyle \{-1,1\}} sarebbe aperto ma cioè non è possibile poiché chiaramente non è unione di insiemi del tipo a Z + b {\displaystyle a\mathbb {Z} +b} con a , b {\displaystyle a,b} interi e a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , essendo un insieme finito.

  • ( Z , τ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\tau )} è totalmente disconnesso, non è né compatto né localmente compatto, è metrizzabile e una sua metrica è quella indotta dalla norma
‖ x ‖ := inf n ∈ N + { 1 n : n !  divide  x } {\displaystyle \|x\|:=\inf _{n\in \mathbb {N} ^{+}}\left\{{\frac {1}{n}}\,:\,n!\;{\mbox{ divide }}\;x\right\}}

Note

  1. ^ Steen Seebach, 1995, pp. 80–81.

Bibliografia

  • Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes, in American Mathematical Monthly, vol. 62, n. 5, Mathematical Association of America, 1955, pp. 353, DOI:10.2307/2307043, JSTOR 2307043.
  • L. A. Steen e J. A. Seebach, Counterexamples in Topology, Dover, 1995, pp. 80–81, ISBN 0-486-68735-X.
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