Diffeomorfismo

Un diffeomorfismo è una funzione tra due varietà differenziabili con la proprietà di essere differenziabile, invertibile e di avere l'inversa differenziabile.

Definizione

Date due varietà M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} , una mappa differenziabile f : M N {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} è detta diffeomorfismo se è una biezione e se anche la sua inversa f 1 : N M {\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M} è differenziabile. Se queste funzioni sono differenziabili per continuità r {\displaystyle r} volte, f {\displaystyle f} è detta un C r {\displaystyle C^{r}} -diffeomorfismo.

Due varietà M {\displaystyle M} e N {\displaystyle N} sono diffeomorfe (indicato solitamente con M N {\displaystyle M\simeq N} ) se c'è un diffeomorfismo f {\displaystyle f} da M {\displaystyle M} a N {\displaystyle N} . Sono C r {\displaystyle C^{r}} - diffeomorfe se c'è tra loro una mappa bigettiva differenziabile per continuità r {\displaystyle r} volte la cui inversa è anch'essa differenziabile per continuità r {\displaystyle r} volte.

Negli spazi euclidei

In realtà, nel definire una varietà differenziabile, si usa il concetto di diffeomorfismo, anche se ristretto al caso di regioni di spazi euclidei. Per questo motivo è necessario, ai fini del rigore formale, avere a disposizione una definizione di diffeomorfismo tra spazi euclidei indipendente dal concetto di varietà differenziabile; dunque:

Una funzione tra due regioni (insiemi aperti e connessi) di spazi euclidei f : U V {\displaystyle f\colon U\to V} , con U {\displaystyle U} regione di R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} e V {\displaystyle V} regione di R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , è un diffeomorfismo se è differenziabile, invertibile e la sua inversa è anch'essa differenziabile.

In una variabile, un diffeomorfismo è una funzione f {\displaystyle f} con differenziale d f 0 {\displaystyle d_{f}\neq 0} quindi invertibile con inversa f 1 {\displaystyle f^{-1}} anch'essa differenziabile. Chiaramente, una volta definite le varietà differenziabili, la seconda definizione diventa un caso particolare della prima.

Diffeomorfismi e omeomorfismi

Di fatto i diffeomorfismi giocano in geometria differenziale lo stesso ruolo degli omeomorfismi in topologia.

È abbastanza facile trovare un omeomorfismo tra varietà differenziabili che non sia un diffeomorfismo, meno facile è trovare varietà omeomorfe che non siano anche diffeomorfe. È possibile dimostrare che per dimensioni minori o uguali a 3, tutte le varietà omeomorfe sono anche diffeomorfe; per dimensioni superiori a 3 è possibile trovare dei controesempi. Il primo controesempio di questo tipo fu costruito da John Milnor in dimensione 7: la sfera di Milnor.

Bibliografia

  • Augustin Banyaga, The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, 400, Kluwer Academic, 1997, ISBN 0-7923-4475-8.
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  • Morris Hirsch, Differential Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90148-0.
  • Andreas Kriegl e Peter Michor, The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, 53, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0780-3.
  • J. A. Leslie, On a differential structure for the group of diffeomorphisms, in Topology. An International Journal of Mathematics, vol. 6, 1967, pp. 263–271, ISSN 0040-9383 (WC · ACNP), MR 0210147.
  • John Milnor, Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, 2007, ISBN 0-8218-4230-7.
  • Hideki Omori, Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, 158, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-4575-6.

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