Funzione Gamma

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo ${\displaystyle n}$ si ha:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$,

dove ${\displaystyle n!}$ denota il fattoriale di ${\displaystyle n,}$ cioè il prodotto dei numeri interi da ${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n}$.

Definizione

La notazione ${\displaystyle \Gamma (z)}$ è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso ${\displaystyle z}$ è positiva, allora l'integrale

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della ${\displaystyle \Gamma }$ a tutti i numeri complessi ${\displaystyle z}$, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,,}$

per cui si ha:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$.

In questo modo, la definizione della ${\displaystyle \Gamma }$ può essere estesa dal semipiano ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$ a quello ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1}$ (ad eccezione del polo in ${\displaystyle z=0}$), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in ${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$).

Siccome ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali ${\displaystyle n}$, che:

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\,.}$

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}}$

che si ottiene ponendo ${\textstyle {\frac {x^{2}}{2}}=t}$, e quindi ${\displaystyle x={\sqrt {2t}}}$, ottenendo quindi ${\textstyle dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}}$

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}}$

dovuta a Gauss,

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}}$

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

${\displaystyle \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$

In questa formula sono espliciti i poli di ordine ${\displaystyle 1}$ e residuo ${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$ che la funzione Gamma ha in ${\displaystyle z=-n}$, per ogni ${\displaystyle n}$ intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

${\displaystyle \lim _{z\to 0}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}},}$

dove è stato fatto uso della relazione ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$.

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,}$

e quella di duplicazione:

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z)}$

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)}$

la quale per ${\displaystyle z=0}$ diventa:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}}$

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica ${\displaystyle \prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}}$ .

Le derivate della funzione Gamma:

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z),}$

dove ${\displaystyle \psi _{0}}$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

${\displaystyle \Gamma '(1)=-\gamma ,}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)}$

che per ${\displaystyle z=m}$ intero positivo si riduce ad una somma finita

${\displaystyle \psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1}}$

dove ${\displaystyle H_{m-1}}$ è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a ${\displaystyle z}$ si ha, ancora,

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}}$

che per ${\displaystyle z=0}$ diverge, mentre per ${\displaystyle z=1}$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

${\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine ${\displaystyle m}$ è definita nel modo seguente:

${\displaystyle \psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)}$ .

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$

che si può trovare ponendo ${\displaystyle z={\frac {1}{2}}}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}{\sqrt {\pi }}={{\frac {n}{2}}-1 \choose {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!{\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {n}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{{\Biggl (}{\begin{matrix}-1/2\\{\frac {n+1}{2}}\end{matrix}}{\Biggr )}\left({\frac {n+1}{2}}\right)!}}}$

dove ${\displaystyle n!!}$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

• Donato Greco, Complementi di Analisi, capitolo 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4.
• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Due, capitolo 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1.
• (EN) Milton Abramowitz e Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 6, New York, 1964.
• (DE) Niels Nielsen, Handbuch der theorie der gammafunktion, Lipsia, 1906.

Voci correlate

• Funzione gamma incompleta
• Funzione digamma
• Funzione poligamma
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione beta di Eulero
• Distribuzione chi quadrato
• Variabile casuale Gamma
• Approssimazione di Stirling
• Funzione (matematica) - Integrale
• Teorema di Hölder

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione Gamma

Collegamenti esterni

• (EN) gamma function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione Gamma, su MathWorld, Wolfram Research.
• Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions

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