Punto isolato

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In topologia generale, un punto isolato per un insieme S {\displaystyle S} è un punto che non ha altri punti di S {\displaystyle S} "vicini".

Definizione

Un punto x 0 {\displaystyle x_{0}} appartenente ad un sottoinsieme S {\displaystyle S} in uno spazio topologico è un punto isolato di S {\displaystyle S} se esiste un intorno di x 0 {\displaystyle x_{0}} non contenente altri punti di S {\displaystyle S} .

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico), x 0 {\displaystyle x_{0}} è un punto isolato di S {\displaystyle S} se esiste una palla aperta centrata in x 0 {\displaystyle x_{0}} che non contiene nessun elemento di S {\displaystyle S} diverso da x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto x 0 {\displaystyle x_{0}} di S {\displaystyle S} non è un punto isolato se e solo se x 0 {\displaystyle x_{0}} è un punto di accumulazione per S {\displaystyle S} .

Insieme discreto

Un insieme S {\displaystyle S} costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto. Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e S {\displaystyle S} è chiuso: in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo. D'altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l'insieme Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di N {\displaystyle \mathbb {N} } è isolato in N {\displaystyle \mathbb {N} } infatti: Sia n 0 ∈ N   {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} \ } e sia I ( n 0 , r ) {\displaystyle I(n_{0},r)} un intorno di n 0 {\displaystyle n_{0}} e di raggio r {\displaystyle r} .
Allora dalla definizione abbiamo che n 0 ∈ N   {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} \ } è un punto isolato in N   ⇔   ∃   r ∈ R   : I ( n 0 , r ) ∩ N ∖ { n 0 } = ∅ {\displaystyle \mathbb {N} \ \Leftrightarrow \ \exists \ r\in \mathbb {R} \ :I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing } .
Poiché per r = 1 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2}}} risulta che I ( n 0 , r ) ∩ N ∖ { n 0 } = ∅ {\displaystyle I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing } , deduciamo che n 0 {\displaystyle n_{0}} è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

  • Per l'insieme S = { 0 } ∪ [ 1 , 2 ] {\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]} , il punto 0 {\displaystyle 0} è un punto isolato.
  • Per l'insieme S = { 0 } ∪ { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , … } {\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\ldots \}} , ciascun punto 1 / k {\displaystyle 1/k} è un punto isolato, tranne il punto 0 {\displaystyle 0} che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all'insieme S {\displaystyle S} vicini a 0 {\displaystyle 0} quanto desiderato.
  • L'insieme N = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}} dei numeri naturali è un insieme discreto.
  • L'insieme chiuso [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} è un insieme perfetto.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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