Limite notevole

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Sono qui presentati alcuni limiti notevoli utilizzati per una risoluzione più veloce di limiti che possono sembrare poco immediati. Tali limiti sono anche usati nell'applicazione del principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.

Razionale

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {a_{0}x^{k}+a_{1}x^{k-1}+...+a_{k}}{b_{0}x^{r}+b_{1}x^{r-1}+...+b_{r}}}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {sgn}[{a_{o} \over b_{0}}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty ,&{\mbox{se }}k>r\\{\frac {a_{0}}{b_{0}}},&{\mbox{se }}k=r\\0,&{\mbox{se }}k<r\end{matrix}}\right.}$

Potenza

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{a}-1}{x}}=a,\;\;a\in \mathbb {R} }$

Trigonometrici

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arcsin(x)}{x}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\arctan(x)}{x}}=1}$

La dimostrazione di questo limite è analoga alla precedente.

Esponenziali e logaritmi

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty \quad {\text{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }a^{x}=0\quad {\text{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0\quad {\text{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=+\infty \quad {\text{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se}}\quad a>1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se}}\quad 0<a<1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\left(1+{\frac {1}{x}}\right)}^{x}\!=e}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\left(1+{\frac {a}{x}}\right)}^{bx}\!=e^{ab}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\left({\frac {x}{x+1}}\right)}^{x}\!={\frac {1}{e}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\left(1+ax\right)}^{\frac {1}{x}}\!=e^{a}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}\!=1}$

Deriva direttamente dal limite precedente sostituendo ${\displaystyle a}$ con ${\displaystyle e}$ (quindi ${\displaystyle \log _{a}}$ diventa ${\displaystyle \ln }$ e ${\displaystyle \ln e=1}$).

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}=\ln a,\;\;a>0}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$

Deriva direttamente dal limite precedente sostituendo ${\displaystyle a}$ con ${\displaystyle e}$ (quindi ${\displaystyle \ln a}$ diventa ${\displaystyle \ln e=1}$).

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
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Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
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