Teorema di Borsuk

Il teorema di Borsuk è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia algebrica. Ha come conseguenza importante il teorema di Borsuk-Ulam.

Enunciato

Il teorema di Borsuk asserisce il fatto seguente.

Non esistono applicazioni continue f : S 2 → S 1 {\displaystyle f:S^{2}\to S^{1}} dalla sfera in sé tali che f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} per ogni punto x {\displaystyle x} della sfera.

Dimostrazione

Sia f : S 2 → S 1 {\displaystyle f:S^{2}\to S^{1}} un'applicazione continua, vogliamo dimostrare che esiste x0 ∈ S2 tale che f ( − x 0 ) {\displaystyle f(-x_{0})} diverso da - f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} .

Consideriamo il rivestimento universale e : R → S 1 {\displaystyle e:\mathbb {R} \to S^{1}} ; per un corollario relativo al teorema del sollevamento dell'omotopia esiste un'applicazione continua g : S 2 → R {\displaystyle g:S^{2}\to \mathbb {R} } che solleva f {\displaystyle \,f\;} , ossia tale che e | g = f {\displaystyle e|g=f} .

Per un lemma della teoria topologica esiste un punto x0 appartenente a S2 tale che g ( x 0 ) = g ( − x 0 ) {\displaystyle \,g(x_{0})=\,g(-x_{0})\;} e di conseguenza: f ( x 0 ) = f ( − x 0 ) {\displaystyle \,f(x_{0})=f(-x_{0})\;} ; in particolare f ( − x 0 ) ≠ f ( x 0 ) {\displaystyle \,f(-x_{0})\neq f(x_{0})\;} , c.v.d.

Applicazioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Borsuk-Ulam.

Il Teorema di Borsuk-Ulam è una applicazione importante del teorema. Asserisce che per ogni applicazione continua g {\displaystyle \,g\;}  : S2 → R2 esiste un punto x {\displaystyle \,x\;} appartenente a S2 tale che g ( x ) {\displaystyle \,g(x)\;} = g ( − x ) {\displaystyle \,g(-x)\;} .

Voci correlate

  • Karol Borsuk

Collegamenti esterni


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