Corpo (matematica)

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In matematica, un corpo è una particolare struttura algebrica, che può essere considerata come intermedia fra quella di anello e quella di campo.

Un corpo è infatti un insieme munito di due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto e indicate rispettivamente con + {\displaystyle +} e ∗ {\displaystyle *} , che abbia tutte le proprietà usuali di un campo, tranne la proprietà commutativa per il prodotto. Equivalentemente, è un anello unitario in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

Definizione

Un corpo è un insieme K {\displaystyle K} , non vuoto e non ridotto ad un unico elemento, dotato di due operazioni binarie interne + {\displaystyle +} e ∗ {\displaystyle *} che soddisfa i seguenti assiomi:

( K , + ) {\displaystyle (K,+)} è un gruppo abeliano con elemento neutro 0 {\displaystyle 0} :

  • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
  • a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
  • 0 + a = a + 0 = a {\displaystyle 0+a=a+0=a}
  • per ogni a {\displaystyle a} esiste un elemento − a {\displaystyle -a} tale che a + ( − a ) = 0 {\displaystyle a+(-a)=0}

( K ∗ , ∗ ) {\displaystyle (K^{*},*)} è un gruppo con elemento neutro 1 {\displaystyle 1} :

  • a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}
  • 1 ∗ a = a ∗ 1 = a {\displaystyle 1*a=a*1=a}
  • per ogni a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} esiste un elemento a − 1 {\displaystyle a^{-1}} tale che a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = 1 {\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=1}

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

  • a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}
  • ( a + b ) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c {\displaystyle (a+b)*c=a*c+b*c}

(le relazioni devono valere per ogni a , b {\displaystyle a,b} e c {\displaystyle c} in K {\displaystyle K} )

Nella definizione, K ∗ = K ∖ { 0 } {\displaystyle K^{*}=K\setminus \{0\}} quindi necessariamente 1 ≠ 0 {\displaystyle 1\neq 0} .

Un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa è detto corpo commutativo, e più usualmente campo.

Esempi

Ogni campo è anche un corpo: sono quindi corpi i campi Q , R , C {\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } dei numeri razionali, reali e complessi.

L'insieme H {\displaystyle \mathbb {H} } dei quaternioni è un corpo, ma non è un campo, infatti il prodotto tra quaternioni non è commutativo.

Proprietà

Equazioni

In un corpo sono risolubili in modo unico le equazioni

a ∗ x = b {\displaystyle a*x=b} , x ∗ a = b , {\displaystyle x*a=b,}

per ogni a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} con a ≠ 0. {\displaystyle a\neq 0.}

Bibliografia

  • (EN) P.M. Cohn, Skew fields. Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 57, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-43217-0.

Voci correlate

  • Anello (algebra)
  • Campo (matematica)

Collegamenti esterni

  • (EN) division ring, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Corpo, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Corpo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society. Modifica su Wikidata
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