Anello di Gorenstein

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In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Gorenstein è un anello commutativo tale che la localizzazione in ogni ideale primo è un anello di Gorenstein locale.

Un anello di Gorenstein locale è un anello locale, commutativo, noetheriano R tale che la sua dimensione iniettiva come R-modulo è finita.

Il concetto di anello di Gorenstein è un caso particolare del più generale concetto di anello di Cohen-Macaulay.

Gli analoghi non commutativi degli anelli di Gorenstein di dimensione 0 sono detti anelli di Frobenius.

Definizioni equivalenti

Un anello locale, commutativo, noetheriano ( R , m , k ) {\displaystyle (R,m,k)} , con dimensione di Krull n {\displaystyle n} , è detto anello di Gorenstein locale di dimensione n {\displaystyle n} se gode di una delle seguenti proprietà equivalenti:

  • R {\displaystyle R} ha dimensione iniettiva finita come R {\displaystyle R} -modulo;
  • R {\displaystyle R} ha dimensione iniettiva n {\displaystyle n} come R {\displaystyle R} -modulo;
  • Ext R i ⁡ ( k , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0} per i ≠ n {\displaystyle i\neq n} e Ext R n ⁡ ( k , R ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)} è isomorfo a k {\displaystyle k} ;
  • Ext R i ⁡ ( k , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0} per qualche i > n {\displaystyle i>n} ;
  • Ext R i ⁡ ( k , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0} per ogni i < n {\displaystyle i<n} e Ext R n ⁡ ( k , R ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)} è isomorfo a k {\displaystyle k} .

Caso non commutativo

Un anello R (non necessariamente commutativo) è detto anello di Gorenstein se ha dimensione iniettiva finita sia come R-modulo sinistro che come R-modulo destro. Se R è un anello locale allora è detto anello di Gorenstein locale.

Esempi

  • Ogni anello locale regolare è di Gorenstein.
  • L'anello k[x,y,z]/(x2, y2, xz, yz, z2–xy) è un anello di Gorenstein 0-dimensionale.

Proprietà

Un anello locale commutativo noetheriano è di Gorenstein se e solo se il suo completamento è di Gorenstein.

Bibliografia

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Voci correlate

Collegamenti esterni

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