Quasi-anello

In matematica un quasi-anello (near-ring in inglese) è una struttura algebrica più "debole" di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Parleremo, quindi, di quasi-anelli sinistri se

x ( y + z ) = x y + x z {\displaystyle x(y+z)=xy+xz}

e di quasi-anelli destri se

( y + z ) x = y x + z x {\displaystyle (y+z)x=yx+zx} .

Definizione formale

L'insieme R {\displaystyle R} , dotato di due operazioni binarie + {\displaystyle +} e ⋅ {\displaystyle \cdot } , è un quasi-anello (sinistro) se valgono i seguenti assiomi:

  • ( R , + ) {\displaystyle (R,+)} è un gruppo con elemento neutro 0 {\displaystyle 0} ;
  • ( R , ⋅ ) {\displaystyle (R,\cdot )} è un semigruppo;
  • La moltiplicazione a sinistra è distributiva rispetto alla somma: x ⋅ ( y + z ) = ( x ⋅ y ) + ( x ⋅ z ) {\displaystyle x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)} .

Gli anelli sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.

Giustificazione

Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.

Sia dato un gruppo G {\displaystyle G} e sia M ( G ) {\displaystyle M(G)} la famiglia di tutte le funzioni

f : G → G {\displaystyle f\colon G\to G}

di G {\displaystyle G} su se stesso (inteso come insieme).

Definiamo la somma in M ( G ) {\displaystyle M(G)} :

∀ f , g ∈ M ( G )  e  x ∈ G  sia  ( f + g ) ( x ) ≡ f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle \forall f,g\in M(G){\text{ e }}x\in G{\text{ sia }}(f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)}

ove ( f + g ) {\displaystyle (f+g)} è la somma definita in M ( G ) {\displaystyle M(G)} , mentre f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle f(x)+g(x)} è la somma in G {\displaystyle G} .

Definiamo il prodotto in M ( G ) {\displaystyle M(G)} :

∀ f , g ∈ M ( G )  e  x ∈ G  sia  ( f ⋅ g ) ( x ) ≡ ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle \forall f,g\in M(G){\text{ e }}x\in G{\text{ sia }}(f\cdot g)(x)\equiv (f\circ g)(x)}

ove ( f ⋅ g ) {\displaystyle (f\cdot g)} è il prodotto definito in M ( G ) {\displaystyle M(G)} , mentre ( f ∘ g ) {\displaystyle (f\circ g)} è la usuale composizione di funzioni.

Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme M ( G ) {\displaystyle M(G)} di una struttura di quasi-anello sinistro.

Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di M ( G ) {\displaystyle M(G)} per un opportuno gruppo G {\displaystyle G} .

Quasi-anelli con unità

Se R {\displaystyle R} contiene l'elemento neutro 1 {\displaystyle 1} rispetto al prodotto, diremo che R {\displaystyle R} è un quasi-anello con unità.

Quasi-anelli zerosimmetrici

Sia R {\displaystyle R} un quasi-anello sinistro. Per ogni x ∈ R {\displaystyle x\in R} vale l'uguaglianza x 0 = 0 {\displaystyle x0=0} (ove 0 {\displaystyle 0} è l'elemento neutro rispetto alla somma), infatti:

x x = x ( x + 0 ) = x x + x 0. {\displaystyle xx=x(x+0)=xx+x0.}

In genere, però, non è detto che sia 0 x = 0 {\displaystyle 0x=0} ; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga x ∈ R {\displaystyle x\in R} , sono detti zerosimmetrici.

Quasi-corpi

Un quasi-corpo è un quasi-anello K {\displaystyle K} i cui elementi distinti dallo zero formano un gruppo rispetto al prodotto.

Ideali in un quasi-anello

Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:

Si dice ideale (bilatero) di un quasi-anello sinistro R {\displaystyle R} un suo sottoinsieme I {\displaystyle I} tale che: 1) ( I , + ) {\displaystyle (I,+)} è un sottogruppo normale di ( R , + ) {\displaystyle (R,+)} ; 2) r ⋅ i {\displaystyle r\cdot i} appartiene a I {\displaystyle I} per ogni i {\displaystyle i} di I {\displaystyle I} e per ogni r {\displaystyle r} di R {\displaystyle R} ; 3) ( x + i ) y − x y {\displaystyle (x+i)y-xy} appartiene a I {\displaystyle I} per ogni i {\displaystyle i} di I {\displaystyle I} e per ogni x , y {\displaystyle x,y} di R {\displaystyle R} .

Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che I {\displaystyle I} è un ideale sinistro; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che I {\displaystyle I} è un ideale destro.

Collegamenti esterni

  • Near Ring Main Page (Johannes Kepler Universität Linz)
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