Polinomio ciclotomico

In matematica, l'${\displaystyle n}$-esimo polinomio ciclotomico è il polinomio monico le cui radici sono tutte e sole le radici n-esime primitive dell'unità

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}\left(z-z_{k}\right),}$

dove ${\displaystyle \varphi }$ è la funzione φ di Eulero, e ${\displaystyle z_{k}}$ sono quei numeri distinti per cui vale

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{k}^{n}&=1;\\z_{k}^{m}&\neq 1,\quad \forall \,m<n.\end{aligned}}}$

Formula generale

Il polinomio ${\displaystyle z^{n}-1}$ ha come radici tutte le radici ${\displaystyle n}$-esime, primitive e non primitive, dell'unità. Ognuna di queste radici è una radice ${\displaystyle d}$-esima primitiva, dove ${\displaystyle d}$ è un divisore positivo di ${\displaystyle n}$. Pertanto il polinomio si può scomporre nel prodotto di polinomi ciclotomici:

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(z).}$

Applicando la formula di inversione di Möbius si ottiene

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\mid n}(z^{n/d}-1)^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}(z^{d}-1)^{\mu (n/d)},}$

dove ${\displaystyle \mu }$ è la funzione di Möbius.

Proprietà

Ogni polinomio ciclotomico ha coefficienti interi, ed è irriducibile sul campo dei numeri razionali, ovvero non è possibile scomporlo come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

Se ${\displaystyle p}$ è un numero primo, il polinomio ciclotomico è formato dalla somma di tutte le potenze di ${\displaystyle z}$ da ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle p-1}$:

${\displaystyle \Phi _{p}(z)=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$

Sostituendo a ${\displaystyle z}$ un qualunque numero naturale ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \Phi _{p}(n)}$ è una repunit in base ${\displaystyle n}$; segue che se un repunit è un numero primo allora la sua lunghezza in cifre è un numero primo. In generale, i valori assunti dai polinomi ciclotomici sugli interi sono soggetti a numerose altre limitazioni; ad esempio, se ${\displaystyle p}$ è primo e ${\displaystyle d\mid \Phi _{p}}$, allora ${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {p}}}$ oppure ${\displaystyle d\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Dalla formula generale è possibile calcolare algoritmicamente ogni polinomio ciclotomico, ma ci sono altre proprietà che legano i vari polinomi ciclotomici ${\displaystyle \Phi _{n}}$ in base ai primi che dividono ${\displaystyle n}$. In particolare:^[1]

• ${\displaystyle \Phi _{p^{r}}(z)=\Phi _{p}(z^{p^{r-1}})}$, per ${\displaystyle p}$ primo;
• ${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\Phi _{p_{1}\dots p_{s}}(z^{{p_{1}}^{r_{1}-1}\dots {p_{s}}^{r_{s}-1}})}$, per ${\displaystyle n=p_{1}^{r_{1}-1}\dots p_{s}^{r_{s}-1}}$ con fattori ${\displaystyle p_{i}}$ distinti;
• ${\displaystyle \Phi _{2n}(z)=\Phi _{n}(-z)}$, per ${\displaystyle n\geq 3}$ dispari;
• ${\displaystyle \Phi _{pn}(z)={\dfrac {\Phi _{n}(z^{p})}{\Phi _{n}(z)}}}$, per un qualsiasi primo ${\displaystyle p}$ tale che ${\displaystyle p\nmid n}$.

Elenco di polinomi ciclotomici

I primi polinomi ciclotomici sono:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(z)&=z-1\\\Phi _{2}(z)&=z+1\\\Phi _{3}(z)&=z^{2}+z+1\\\Phi _{4}(z)&=z^{2}+1\\\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\\Phi _{6}(z)&=z^{2}-z+1\\\Phi _{7}(z)&=z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\\Phi _{8}(z)&=z^{4}+1\\\Phi _{9}(z)&=z^{6}+z^{3}+1\end{aligned}}}$

È stato dimostrato da A. S. Bang e A. Migotti^[2] che se ${\displaystyle n}$ ha solo uno o due fattori primi dispari distinti, allora ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ha solo coefficienti tra ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle -1}$^[3]. Il primo ${\displaystyle n}$ a non soddisfare queste ipotesi è ${\displaystyle 105=3\cdot 5\cdot 7}$, e calcolando ${\displaystyle \Phi _{105}}$ si nota che tra i coefficienti compare un ${\displaystyle -2}$. Il viceversa non vale: ${\displaystyle \Phi _{651}(z)}$ = ${\displaystyle \Phi _{3\cdot 7\cdot 31}(z)}$ ha solo coefficienti in ${\displaystyle \{1,-1,0\}}$ ma ${\displaystyle 651}$ è prodotto di tre primi dispari distinti.

Sempre sui coefficienti dei polinomi ciclotomici, si dimostra per induzione che il termine noto di ${\displaystyle \phi _{n}}$, per ogni ${\displaystyle n\neq 1}$, è esattamente ${\displaystyle 1}$.

Note

Voci correlate

• Radice dell'unità
• Estensione ciclotomica

Collegamenti esterni

• polinomio ciclotomico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Polinomio ciclotomico, su MathWorld, Wolfram Research.

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