Gruppo di Galois

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione

Estensione

Sia ${\displaystyle E}$ una estensione di un campo ${\displaystyle F}$. Un ${\displaystyle F}$-automorfismo di ${\displaystyle E}$ è un automorfismo

${\displaystyle \psi \colon E\to E,}$

che fissa gli elementi di ${\displaystyle F}$, cioè tale che

${\displaystyle \psi (x)=x,}$

per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle F}$. Gli ${\displaystyle F}$-automorfismi di ${\displaystyle E}$ formano un gruppo

${\displaystyle G=\mathrm {Aut} (E/F).}$

Se ${\displaystyle E/F}$ è un'estensione di Galois allora il gruppo degli ${\displaystyle F}$-automorfismi di ${\displaystyle E}$ è detto gruppo di Galois^[1] ed è indicato con

${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (E/F).}$

Polinomi

Se ${\displaystyle p(x)}$ è un polinomio separabile a coefficienti in un campo ${\displaystyle F}$, il gruppo di Galois di ${\displaystyle p}$ è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento ${\displaystyle E}$ di ${\displaystyle p}$ su ${\displaystyle F}$.

Esempi

Negli esempi seguenti ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione ${\displaystyle F(a)}$ indica il più piccolo campo contenente ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle a}$.

Campi razionali, reali, complessi

• ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$ ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )}$ è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di ${\displaystyle \mathbb {R} }$). Da ciò segue che l'estensione ${\displaystyle \mathbb {R} }$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ non è di Galois.
• ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$ è un gruppo infinito.

Campi finiti

Se ${\displaystyle F}$ è un campo finito con caratteristica ${\displaystyle p>0}$, ovvero di ordine ${\displaystyle p^{n}}$ per qualche naturale ${\displaystyle n}$, lo si può vedere come estensione di ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

• ${\displaystyle \mathrm {Gal} (F/\mathbb {F} _{p})=C_{n}=\langle f\rangle }$

ovvero il gruppo ciclico di ordine ${\displaystyle n}$, con ${\displaystyle f}$ endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di ${\displaystyle F_{p}}$ pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè ${\displaystyle n}$ (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento ${\displaystyle f}$ è esattamente ${\displaystyle n}$, pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi

• ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ ha due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ con ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$.
• Sia ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$, dove ${\displaystyle \zeta _{3}}$ è una radice terza primitiva dell'unità. Il gruppo ${\displaystyle \mathrm {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ è isomorfo al gruppo ${\displaystyle S_{3}}$ delle permutazioni di tre elementi. Il campo ${\displaystyle L}$ è il campo di spezzamento del polinomio ${\displaystyle x^{3}-2}$ su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Note

Voci correlate

• Campo di spezzamento
• Estensione di campi
• Teoria di Galois
• Programma Langlands

Collegamenti esterni

• (EN) Galois group, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Gruppo di Galois, su MathWorld, Wolfram Research.

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