Prodotto diretto

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In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

La costruzione si estende facilmente in alcuni casi in cui il gruppo ha anche delle strutture aggiuntive: è possibile quindi effettuare il prodotto diretto di spazi vettoriali e anelli.

Prodotto di due gruppi

Definizione

Il prodotto diretto di due gruppi (G1, *1), (G2, *2) è il gruppo (G1× G2, *×) che si ottiene munendo il prodotto cartesiano G1×G2 dell'operazione *× definita da

( a 1 , a 2 ) ∗ × ( b 1 , b 2 ) := ( a 1 ∗ 1 b 1 , a 2 ∗ 2 b 2 ) , {\displaystyle (a_{1},a_{2})*_{\times }(b_{1},b_{2}):=(a_{1}*_{1}b_{1},a_{2}*_{2}b_{2}),}

con a 1 {\displaystyle a_{1}} e b 1 {\displaystyle b_{1}} appartenenti a G 1 {\displaystyle G_{1}} e a 2 {\displaystyle a_{2}} e b 2 {\displaystyle b_{2}} appartenenti a G 2 {\displaystyle G_{2}} .

Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottintendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile

( a 1 , a 2 ) ( b 1 , b 2 ) := ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ) . {\displaystyle (a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2}):=(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2}).}

Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.

  • L'associatività discende direttamente dall'analoga proprietà dei due gruppi G1 e G2.
  • L'elemento neutro è dato da (e1, e2) dove e1 ed e2 sono gli elementi unità di G1 e G2 rispettivamente. Infatti:
    ( e 1 , e 2 ) ( a 1 , a 2 ) = ( e 1 a 1 , e 2 a 2 ) = ( a 1 , a 2 ) . {\displaystyle (e_{1},e_{2})(a_{1},a_{2})=(e_{1}a_{1},e_{2}a_{2})=(a_{1},a_{2}).}
  • L'elemento inverso di (a1, a2) è
    ( a 1 , a 2 ) − 1 := ( a 1 − 1 , a 2 − 1 ) , {\displaystyle (a_{1},a_{2})^{-1}:=(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}),}
    infatti:
    ( a 1 − 1 , a 2 − 1 ) ( a 1 , a 2 ) = ( a 1 − 1 a 1 , a 2 − 1 a 2 ) = ( e 1 , e 2 ) . {\displaystyle (a_{1}^{-1},a_{2}^{-1})(a_{1},a_{2})=(a_{1}^{-1}a_{1},a_{2}^{-1}a_{2})=(e_{1},e_{2}).}

Se G1 e G2 sono scritti in notazione additiva, (G1× G2, +×) è anche detto somma diretta dei due gruppi.

Proprietà

  • I due gruppi fattori G1 e G2 possono essere identificati canonicamente con due sottogruppi normali
    H 1 = { ( a 1 , e 2 )   |   a 1 ∈ G 1 } {\displaystyle H_{1}=\{(a_{1},e_{2})\ |\ a_{1}\in G_{1}\}}
    H 2 = { ( e 1 , a 2 )   |   a 2 ∈ G 2 } {\displaystyle H_{2}=\{(e_{1},a_{2})\ |\ a_{2}\in G_{2}\}}
    rispettivamente. Infatti le due applicazioni
    f 1 : G 1 → H 1 f 1 ( a 1 ) = ( a 1 , e 2 ) {\displaystyle f_{1}:G_{1}\to H_{1}\quad f_{1}(a_{1})=(a_{1},e_{2})}
    f 2 : G 2 → H 2 f 2 ( a 2 ) = ( e 1 , a 2 ) {\displaystyle f_{2}:G_{2}\to H_{2}\quad f_{2}(a_{2})=(e_{1},a_{2})}
    sono isomorfismi di gruppi.
  • Il prodotto di due gruppi finiti aventi n e m elementi è un gruppo con nm elementi.
  • Il prodotto di due gruppi abeliani è abeliano.
  • Il prodotto di due gruppi ciclici con p e q elementi è ciclico se e solo se p e q sono coprimi.

Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il prodotto semidiretto tra gruppi.

Esempio

Il prodotto diretto di n copie dello stesso gruppo G viene indicato con Gn. Ad esempio, otteniamo i gruppi Zn e Rn a partire dai gruppi Z e R rispettivamente dei numeri interi e reali.

Strutture aggiuntive

Anelli

Se A e B sono due anelli, il loro prodotto diretto A × B ha una naturale struttura di anello, ottenuta definendo sia la somma che il prodotto termine a termine come sopra. Nel prodotto diretto ci sono divisori dello zero, infatti ( a , 0 B ) ⋅ ( 0 A , b ) = 0 A × B {\displaystyle (a,0_{B})\cdot (0_{A},b)=0_{A\times B}}

Spazi vettoriali

Il prodotto diretto V × W di due spazi vettoriali ha una naturale struttura di spazio vettoriale, ottenuta definendo somma e prodotto per scalare termine a termine. Quindi:

λ ( v , w ) = ( λ v , λ w ) {\displaystyle \lambda (v,w)=(\lambda v,\lambda w)}

Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V sono in somma diretta, allora il sottospazio U + W che generano è isomorfo al loro prodotto diretto U × W.

L'esempio più importante di prodotto diretto di spazi vettoriali è Kn, definito come il prodotto diretto di n copie del campo K.

Campi

Il prodotto diretto di due campi è certamente un anello, ma non è mai un campo (a meno che uno dei due campi non sia banale). Infatti l'elemento (a, 0) non ha mai un inverso se a è diverso da zero.

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Prodotto diretto, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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