Puterea a șaptea

În aritmetică și algebră, puterea a șaptea a unui număr n este rezultatul înmulțirii de șapte ori a lui n cu el însuși, adică:

${\displaystyle n^{7}=n\times n\times n\times n\times n\times n\times n.}$

Valoarea puterii a șaptea a unui număr se poate abține și prin înmulțirea numărului cu puterea a șasea a sa, prin înmulțirea pătratului său cu puterea a cincea a sa, sau prin înmulțirea cubului său cu puterea a patra a sa.

Șirul valorilor puterii a șaptea a numerelor naturale este:^[1]

0, 1, 128, 2187, 16384, 78125, 279936, 823543, 2097152, 4782969, 10000000, 19487171, 35831808, 62748517, 105413504, 170859375, 268435456, 410338673, 612220032, 893871739, 1280000000, 1801088541, 2494357888, 3404825447, 4586471424, 6103515625, 8031810176, ...

Proprietăți

Leonard Eugene Dickson a studiat generalizările problemei Waring pentru puterile a șaptea, arătând că fiecare număr întreg nenegativ poate fi reprezentat ca o sumă de cel mult 258 de numere la puterea a șaptea nenegative^[2] (1⁷ este 1, iar 2⁷ este 128). Aproape toate numerele întregi pozitive pot fi exprimate ca suma a cel mult 46 de numere la puterea a șaptea.^[3] Dacă sunt permise puteri negative, sunt necesari doar 12 termeni.^[4]

Cel mai mic număr care poate fi reprezentat în două moduri diferite ca o sumă de patru termeni pozitivi la puterea a șaptea este 2056364173794800.^[5]

Cel mai mic număr la puterea a șaptea care poate fi reprezentat ca o sumă de opt numere la puterea a șaptea este:^[6]

${\displaystyle 102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}.}$

Cele două exemple cunoscute ale unor numere la puterea a șaptea reprezentate printr-o sumă de șapte numere la puterea a șaptea sunt:^[7]

${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}$ (M. Dodrill, 1999)

și

${\displaystyle 626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}}$ (Maurice Blondot, 11/14/2000)

iar orice exemplu cu mai puțini termeni în sumă ar fi un contraexemplu la conjectura lui Euler, care în prezent se știe că este falsă doar pentru puterile 4 și 5.

Note

Vezi și

Portal Matematică

• Funcție algebrică de gradul al șaptelea

v • d • m Numere figurative În plan centrate Număr centrat triunghiular Număr centrat pătratic Număr centrat pentagonal Număr centrat hexagonal Număr centrat heptagonal Număr centrat octogonal Număr centrat nonagonal Număr centrat decagonal Număr centrat endecagonal Număr centrat dodecagonal Număr stelat necentrate Număr triunghiular Număr pătratic Număr pentagonal Număr hexagonal Număr heptagonal Număr octogonal Număr nonagonal Număr decagonal Număr endecagonal Număr dodecagonal În spațiu 3D centrate Număr centrat tetraedric Număr centrat cubic Număr centrat octaedric Număr centrat dodecaedric Număr centrat icosaedric necentrate Număr tetraedric Număr cubic Număr octaedric Număr dodecaedric Număr icosaedric Număr octaedric stelat piramidale Număr piramidal pătratic Număr piramidal pentagonal Număr piramidal hexagonal Număr piramidal heptagonal În spațiu 4D necentrate Număr pentatopic Număr triunghiular pătratic Număr teseractic 5D - 8D necentrate 5-hipercubic 6-hipercubic 7-hipercubic 8-hipercubic Vezi și Număr platonician Listă de numere