Număr pentatopic

Număr pentatopic

Generarea numerelor n-simplectice pe baza triunghiului lui Pascal
Nr. total de termeniInfinit
Subșir alNumere politopice
Formula P n = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 24 {\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}
Primii termeni1, 5, 15, 35, 70, 126, 210
Index OEIS
  • A000332
  • Binomial(n,4)
Numărul pentatopic de 70 de sfere poate fi aranjat într-o figură cu latura bazei de 5 sfere. Fiecare strat reprezintă un număr tetraedric, de exemplu, cel de jos (verde) are 35 de sfere

Un număr pentatopic sau 4-simplectic este un număr figurativ.[1] Șirul acestor numere apare într-a cincea poziție din rândurile din triunghiul lui Pascal, indiferent că triunghiul este citit de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga, începând cu rândul al cincilea 1 4 6 4 1. Este și numărul de 3-fețe (celule) al unui n-simplex.

Primele numere de acest tip sunt:[2]

1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365

Formule

Formula pentru al n-lea număr pentatopic este dată de raportul dintre al 4-lea factorial crescător al n și factorial de 4:[3][4]

P n = n + 3 4 T n = n 4 ¯ 4 ! = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 24 {\displaystyle P_{n}={\frac {n+3}{4}}T_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}} .

unde T n {\displaystyle T_{n}} reprezintă al n-lea număr tetraedric.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate de coeficienții binomiali:[5]

P n = ( n + 3 4 ) , {\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}

care este numărul de seturi de 4 elemente care pot fi selectate dintre n + 3 elemente.

Numerele pentatopice pot fi reprezentate ca suma primelor n numere tetraedrice:[2]

P n = ∑ k = 1 n T n , {\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{n},}

Funcția generatoare pentru numerele pentatopice este[4]

x ( 1 − x ) 5 = x + 5 x 2 + 15 x 3 + 35 x 4 + … . {\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}

Note

  1. ^ en Deza, Elena; Deza, M. (), „3.1 Pentatope numbers and their multidimensional analogues”, Figurate Numbers, World Scientific, p. 162, ISBN 9789814355483 
  2. ^ a b Șirul A000332 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  3. ^ Șirul A000332 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
  4. ^ a b en Eric W. Weisstein, Pentatope Number la MathWorld.
  5. ^ Șirul A000332 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
Portal icon Portal Matematică
v • d • m
Numere figurative
În plan
În spațiu 3D
În spațiu 4D
necentrate
5D - 8D
necentrate
Vezi și