Série des inverses des nombres premiers

En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général 1/p_n, où p_n désigne le n-ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant : Leonhard Euler a démontré en 1737^[1] que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{+\infty }{\frac {1}{p_{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+\ldots =+\infty }$,

ce qui renforce à la fois le théorème d'Euclide sur les nombres premiers et celui d'Oresme sur la série harmonique.

Démonstration par l'analyse

La démonstration suivante est due à Paul Erdős^[2].

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel m tel que :

${\displaystyle \sum _{n=m+1}^{+\infty }{\frac {1}{p_{n}}}<{\frac {1}{2}}.}$

Définissons ${\displaystyle N(x)}$ comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les m premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme kr² où k est un entier sans facteur carré.

Puisque seulement les m premiers nombres premiers peuvent diviser k, il y a au plus 2^m choix pour k. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ valeurs possibles pour r, cela nous donne :

${\displaystyle N(x)\leqslant 2^{m}{\sqrt {x}}.}$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et divisibles par au moins un nombre premier différent des m premiers est égal à ${\displaystyle x-N(x)}$.

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à x et divisibles par p est au plus x/p, nous obtenons :

${\displaystyle x-N(x)\leqslant \sum _{n=m+1}^{+\infty }{x \over p_{n}}<{x \over 2},}$

ou encore

${\displaystyle {x \over 2}<N(x)\leq 2^{m}{\sqrt {x}}.}$

Or cette inégalité est fausse pour x suffisamment grand, en particulier pour x supérieur ou égal à 2^{2m + 2}, d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série^[3] :

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{r=1}^{+\infty }{\frac {1}{r^{2}}}\prod _{p_{n}\leq x}\left(1+{\frac {1}{p_{n}}}\right)\leqslant 2\prod _{p_{n}\leqslant x}{\rm {e}}^{\frac {1}{p_{n}}}}$ donc

${\displaystyle \quad \sum _{p_{n}\leqslant x}{\frac {1}{p_{n}}}\geqslant \ln \left(\sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n}}\right)-\ln 2}$^[4],

ce qui confirme une partie^[5] de l'intuition d'Euler :

« La somme de la série des inverses des nombres premiers […] est infiniment grande ; mais infiniment moins que la somme de la série harmonique […]. De plus, la première est comme le logarithme de la seconde^[6]. »

Preuve par un produit eulérien

Connaissant l'équivalent

${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}\right)\sim {\frac {1}{p}}}$ quand ${\displaystyle p\to +\infty }$,

il suffit de montrer la divergence de la série de terme général ${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}\right)}$, ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des ${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}>1}$. Or

${\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}&=&\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}&=&\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} ^{*},s>1}\prod _{n=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{n}^{-s}}}&=&\displaystyle \sup _{s>1}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-s}}}\\&{\underset {(1)}{=}}&\displaystyle \sup _{s>1}\zeta (s)&{\underset {(2)}{=}}&\displaystyle \sup _{s>1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}&=&+\infty \end{matrix}}}$

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{p_{n}}}\sim f(N):=\ln \ln N}$. On pourrait penser que cela implique que ${\displaystyle {\frac {1}{p_{N}}}\sim f'(N)}$ et donc que ${\displaystyle p_{N}\sim {N\ln N}}$, mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiers^[7].

Développement asymptotique

Soit x un réel positif. Le développement asymptotique à deux termes de la série des inverses des nombres premiers est^[8]:

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\ln \ln x+M+o(1)}$ où ${\displaystyle M=\gamma +\sum _{n=1}^{+\infty }\left(\log \left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)+{\frac {1}{p_{n}}}\right)}$ est la constante de Meissel-Mertens^[a] et ${\displaystyle \gamma }$ la constante d'Euler.

Sommes partielles

Bien que les sommes partielles de la série des inverses des nombres premiers puissent dépasser toute valeur entière, elles ne sont jamais égales à un entier.

Ceci peut se démontrer par récurrence ^[9]. La première somme partielle est égale à 1/2, qui est de la forme impair/pair. Si la n-ième somme partielle (pour n ≥ 1) est de la forme impair/pair, alors la (n + 1)-ème somme est

$${\displaystyle {\frac {\text{impair}}{\text{pair}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{impair}}\cdot p_{n+1}+{\text{pair}}}{{\text{pair}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{impair}}+{\text{pair}}}{\text{pair}}}={\frac {\text{impair}}{\text{pair}}}}$$

Elle n'est donc pas entière, ce qui achève la récurrence..

On peut aussi réduire l'expression de la somme des n premiers inverses de nombres premiers (ou bien la somme des inverses de tout ensemble de nombres premiers) au même dénominateur, qui est le produit de tous ces nombres premiers. Chacun de ces nombres premiers divise tous les termes du numérateur sauf un et ne divise donc pas le numérateur lui-même ; mais chaque nombre premier divise le dénominateur. Ainsi la fraction est irréductible et n'est pas entière.

Annexes

Notes et références

Notes

Références

Articles connexes

• Constante de Meissel-Mertens : intervient dans le développement asymptotique de la série divergente étudiée ici
• Théorème de Brun : la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge

Lien externe

(en) There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?, sur le site Prime Pages de Chris Caldwell

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
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