Nombre premier de Higgs

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Un nombre premier de Higgs est un nombre premier p dont l'indicatrice d'Euler (l'entier φ(p) = p – 1) divise le carré du produit des nombres premiers de Higgs plus petits. Plus généralement, étant donné un exposant a, le n-ième premier de Higgs est le plus petit nombre premier Hp_n tel que

${\displaystyle \varphi (Hp_{n})~\left|~\prod _{i=1}^{n-1}{Hp_{i}}^{a}\right.{\mbox{ et }}Hp_{n}>Hp_{n-1}.}$

Pour les carrés (a = 2), les premiers nombres premiers de Higgs sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, etc. (suite A007459 de l'OEIS). Ainsi, par exemple, 13 est un premier Higgs parce que le carré du produit des nombres premiers de Higgs plus petits est 5 336 100, dont le quotient par 12 est entier (égal à 444 675). Mais 17 n'est pas un premier de Higgs car le carré du produit des nombres premiers de Higgs plus petits est 901 800 900, dont le reste dans la division euclidienne par 16 est non nul (égal à 4).

Pour les premiers nombres premiers de Higgs pour les exposants 2 à 7, il est plus compact de présenter les nombres premiers qui ne sont pas de Higgs :

Une observation révèle en outre qu'un premier de Fermat ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ ne peut pas être un premier de Higgs pour l'exposant a si a est plus petit que 2ⁿ.

On ne sait pas s'il y a une infinité de nombres premiers de Higgs pour tout exposant a strictement plus grand que 1. La situation est tout à fait autre pour a = 1. Il y en a quatre : 2, 3, 7 et 43 (une suite étrangement similaire à la suite de Sylvester). Burris et Lee ont constaté qu'environ un cinquième des nombres premiers en dessous d'un million sont des premiers de Higgs.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Higgs prime » (voir la liste des auteurs).
• (en) Stanley Burris et Simon Lee, « Tarski's high school identities », Amer. Math. Monthly, vol. 100, n^o 3,‎ 1993, p. 231-236 [p. 233] (JSTOR 2324454)
• (en) Neil Sloane et Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences, New York, Academic Press, 1995 (ISBN 0-12-558630-2), M0660

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres