Nombre fortuné

En arithmétique, pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre fortuné — nommé d'après Reo Fortune — est le plus petit entier m > 1 tel que p_n# + m est un nombre premier, où le nombre primoriel p_n# est le produit des n premiers nombres premiers.

Par exemple :

pour n = 3 donc p_n# = 2×3×5, le plus petit m > 1 tel que 30 + m soit premier est m = 7 ;
pour n = 5 ou 8, m = 23 ;
pour n = 6, m = 17.
pour n = 7, il faut d'abord calculer le produit des sept premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17), qui est 510 510. Ajouter 2 à ce produit donne un autre nombre pair, tandis qu'ajouter 3 donne un autre multiple de 3. On peut éliminer de même tous les entiers jusqu'à 18. L'ajout de 19, cependant, donne 510 529, qui est premier. Par conséquent, le 7^e nombre fortuné est 19.

Le n-ième nombre fortuné est toujours strictement supérieur à p_n. Cela est dû au fait que p_n#, et ainsi p_n# + m, est divisible par les facteurs premiers de m pour m = 2 à p_n.

Les dix premiers nombres fortunés (suite A005235 de l'OEIS) sont 3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37 et 61.

Les dix plus petits nombres fortunés (par ordre croissant et en éliminant les répétitions : suite A046066 de l'OEIS) sont : 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47 et 59.

Reo Fortune a conjecturé que tout nombre fortuné est premier^[1]^,^[2]. En 2020, tous les nombres fortunés connus sont premiers^[3].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fortunate number » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Fortunate number, sur Prime Pages.
↑ (en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 1994, 2^e éd., 287 p. (ISBN 0-387-94289-0), p. 7-8
↑ Commentaire de Neil Sloane, sur la page de l'OEIS.

Voir aussi

Article connexe

Nombre d'Euclide

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Fortunate Prime », sur MathWorld

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)