Nombre d'Euclide

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En arithmétique, les nombres d'Euclide sont les entiers de la forme $E_{n}=p_{n}\#+1$ , où $p_{n}\#=2\times 3\times ...\times p_{n}$ est le n-ième nombre primoriel, c'est-à-dire le produit des $n$ premiers nombres premiers^[1]. Ils sont ainsi nommés en référence à la démonstration d'Euclide de l'infinitude des nombres premiers.

Propriété fondamentale

D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, $E_{n}$ est divisible par un nombre premier $p$ qui est forcément strictement supérieur à $p_{n}$ , ce qui prouve que la suite croissante des nombres premiers $(p_{n})$ n'est pas finie.

Cette démonstration est très proche de celle d'Euclide, qui utilise bien un produit de n nombres premiers distincts plus un, mais il n'indique jamais qu'il s'agit du produit des $n$ premiers nombres premiers^[2].

Décomposition des nombres d'Euclide

Les six premiers nombres d'Euclide^[3] : 2, 3, 7, 31, 211, 2 311 sont premiers, et le septième 30 031 = 59 × 509 est composé.

On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres d'Euclide premiers^[4], ni s'il existe une infinité de nombres d'Euclide composés^[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclid number » (voir la liste des auteurs).

↑ Le produit vide p₀# est égal à 1.
↑ (en) Michael Hardy et Catherine Woodgold, « Prime Simplicity », The Mathematical Intelligencer, vol. 31, n^o 4,‎ 2009, p. 44-52 (DOI 10.1007/s00283-009-9064-8).
↑ Pour les 100 premiers, voir la suite A006862 de l'OEIS.
↑ Voir les suites A018239, A005234 et A014545 de l'OEIS.
↑ (en) Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes, p. 4.

Articles connexes

Nombre premier primoriel

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)