Nombre double de Mersenne

Pour les articles homonymes, voir Mersenne (homonymie).

En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}$

où n est un entier strictement positif et M_n désigne le n-ième nombre de Mersenne.

Premières valeurs

Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc :

M_M1 = M₁ = 1 ;

M_M2 = M₃ = 7 ;

M_M3 = M₇ = 127 ;

M_M4 = M₁₅ = 32 767 = 7 × 31 × 151 ;

M_M5 = M₃₁ = 2 147 483 647 ;

M_M6 = M₆₃ = 9 223 372 036 854 775 807 = 7² × 73 × 127 × 337 × 92 737 × 649 657 ;

M_M7 = M₁₂₇ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.

Nombre double de Mersenne premier

Puisqu'un nombre de Mersenne M_n ne peut être premier que si n est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne M_Mp ne peut être premier que si M_p est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que p le soit : on a vu par exemple que M_M4 et M_M6 ne sont pas premiers).

Les seuls nombres doubles de Mersenne premiers connus sont M_M2, M_M3, M_M5 et M_M7.

Après 2, 3, 5 et 7, les premières valeurs de p pour lesquelles M_p est premier sont p = 13, 17, 19, 31. Pour ces quatre valeurs, M_Mp n'est pas premier (des facteurs explicites ont été trouvés). Le candidat suivant, M_M61, est bien trop grand pour les tests actuels.

Nombre de Catalan-Mersenne

Les nombres de Catalan-Mersenne c_n, définis par récurrence par c₀ = 2 et c_n+1 = M_cn, sont de Mersenne pour n ≥ 1 et doubles de Mersenne pour n ≥ 2. Les cinq premiers (c₀ à c₄) sont les nombres premiers

2, M₂ = 3, M_M2 = M₃ = 7, M_M3 = M₇ = 127 et M_M7 = M₁₂₇ (suite A007013 de l'OEIS).

Le suivant, c₅ = M_M127, est encore plus énorme que le M_M61 du § ci-dessus.

S’il faut définir un c₀, c’est parce qu’à l’époque de Mersenne, on considérait encore 1 comme un nombre premier^{[réf. souhaitée]}.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Double Mersenne number » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Double Mersenne Number », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Catalan-MersenneNumber », sur MathWorld
• (en) Chris Caldwell, « Mersenne Primes, § 5: Conjectures and Unsolved Problems », sur Prime Pages

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres