Nombre premier minimal

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En théorie des nombres récréative, un nombre premier minimal pour une base donnée est un nombre premier pour lequel il n'existe pas de sous-suite plus courte de ses chiffres dans cette base qui forme un nombre premier. En base dix, il y a exactement 26 nombres premiers minimaux :

2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 suite A071062 de l'OEIS.

Par exemple, 409 est un premier minimal, car il n'y a pas de nombre premier parmi ses sous-suites que sont : 4, 0, 9, 40, 49, 09. La sous-suite n'a pas à être constituée de chiffres consécutifs, de sorte que 109 n'est pas un premier minimal, parce que 19 est premier.

Similairement, il y a exactement 32 nombres composés qui n'ont pas de sous-suite composée plus courte :

4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 suite A071070 de l'OEIS.

Il y a 146 nombres premiers congrus à 1 mod 4 qui n'ont pas de sous-suite plus courte congrue à 1 mod 4 :

5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9049, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ... suite A111055 de l'OEIS

Autres bases

Les premiers minimaux peuvent être généralisés à d'autres bases. On peut montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers minimaux dans chaque base.

b	premiers minimaux en base b (écrit en base b, les lettres A, B, C, ... représentent les valeurs 10, 11, 12, ...)	nombre de premiers minimaux en base b
1	11	1
2	10, 11	2
3	2, 10, 111	3
4	2, 3, 11	3
5	2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441	8
6	2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041	7
7	2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111	9
8	2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441	15
9	2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101	12
10	2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049	26
11	2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A906, 6A966, 90901, 99111, A0111, A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A0A96, 6A9099, 6A9909, 909991, 999901, A00009, A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 444441A, 4A11111, 4A40001, 6000A69, 6000A96, 6A00069, 9900991, 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9909006, A9990006, A9990606, A9999966, 40000A401, 44A444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669, A90000606, A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441	152
12	2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA000001	17

Les nombres premiers minimaux en base douze écrits en base dix sont répertoriés dans A110600.

Quantité de nombres premiers minimaux (probables) en base n sont

1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280, 50, 3463, 651, 2601, 1242, 6021, 306, (17608 or 17609), 5664, 17215, 5784, (57296 or 57297), 220, ...

Longueur du plus grand premier minimal (probable) en base n sont

2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150), 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ...

Premier minimal le plus grand (probable) en base n (écrit en base dix) sont

2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (la prochaine valeur a 35670 chiffres) (voir suite A326609 de l'OEIS)

Le nombre de composés minimaux en base de n est

1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ...

La longueur du plus grand composé minimal en base n est

4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minimal prime (recreational mathematics) » (voir la liste des auteurs).
Chris Caldwell, The Prime Glossary: minimal prime, from the Prime Pages
A research of minimal primes in bases 2 to 30
Minimal primes and unsolved families in bases 2 to 30
Minimal primes and unsolved families in bases 28 to 50
J. Shallit, Minimal primes, Journal of Recreational Mathematics, 30:2, pp. 113–117, 1999-2000.
PRP records, search by form 8*13^n+183 (primes of the form 8000...000111 in base 13), n=32020
PRP records, search by form (51*21^n-1243)/4 (primes of the form CFFF...FFF0K in base 21), n=479149
PRP records, search by form (106*23^n-7)/11 (primes of the form 9EEE...EEE in base 23), n=800873

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)