Középpontos köbszámok

A számelméletben a középpontos köbszámok olyan középpontos poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek olyan alakzatokat jellemeznek, ahol a középpontban egy gömb van, és azt sűrűn pakolt gömbökből összeálló, kocka alakú gömbrétegek veszik körül. A középpontos köbszámok az így összeálló kockákban részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik középpontos köbszám ${\displaystyle Kk_{n}}$ a következő képlettel állítható elő:

${\displaystyle Kk_{n}=n^{3}+(n+1)^{3}=(2n+1)(n^{2}+n+1).}$

Az első néhány középpontos köbszám:

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, 10745, 12691, 14859, 17261, 19909, 22815, 25991, 29449, 33201, 37259, 41635, 46341, 51389, 56791, 62559, 68705, 75241, 82179, 89531, 97309, 105525, … (A005898 sorozat az OEIS-ben)

Tulajdonságai, alkalmazásai

A középpontos köbszámok generátorfüggvénye:^[1]

${\displaystyle {\frac {(1+z)(1+4z+z^{2})}{(z-1)^{4}}}.}$

Mivel a középpontos köbszámok felbontása ${\displaystyle (2n+1)(n^{2}+n+1)}$, ezért egy középpontos köbszám sem lehet prímszám.^[2] Az egyetlen középpontos köbszám, ami egyben négyzetszám, a 9.^[3][4]

Kapcsolata más figurális számokkal

A ${\displaystyle Kk_{n}}$ középpontos köbszám kifejezhető négyzetes piramisszámokkal a következőképpen:

${\displaystyle Kk_{n}=P_{n}+4P_{n-1}+P_{n-2}}$

Kifejezhető továbbá két háromszögszám különbségeként (trapézszámként) vagy egymást követő számok összegeként:^[5]

${\displaystyle {\binom {(n+1)^{2}+1}{2}}-{\binom {n^{2}+1}{2}}=(n^{2}+1)+(n^{2}+2)+\cdots +(n+1)^{2}.}$

További információk

• Weisstein, Eric W.: Centered Cube Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

• Köbszámok

Jegyzetek

• Figurate Numbers. Singapore: World Scientific Publishing, 126–128. o. (2012). ISBN 978-981-4355-48-3