Carmichael-számok

A számelmélet területén egy Carmichael-szám olyan n {\displaystyle n} összetett szám, amire teljesül a moduláris aritmetikai kongruenciareláció:

b n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} ,

méghozzá minden n {\displaystyle n} -hez relatív prím 1 < b < n {\displaystyle 1<b<n} egészre. Nevüket Robert Carmichaelről kapták. A Carmichael-számok a Knödel-számok K1 részhalmazát képezik.

Áttekintés

A kis Fermat-tétel kimondja, hogy ha p prímszám, akkor bármely b egész számra a b p − b szám p többszöröse. A Carmichael-számok az ilyen tulajdonságú összetett számok. A Carmichael-számokat Fermat-álprímeknek vagy abszolút Fermat-álprímeknek is nevezik. A Carmichael-számok jelentősége abban rejlik, hogy összetett számok, mégis átmennek a Fermat-prímteszten. A Carmichael-számok létezése miatt a Fermat-prímteszt önmagában nem alkalmas egy szám prímségének egyértelmű eldöntésére, bár arra igen, hogy egy szám összetett szám voltát igazolja. Ez a kis Fermat-tételen alapuló prímteszteket kockázatosabbá teszi a biztosabb teszteknél, amilyen a Solovay–Strassen-prímteszt vagy bármely erős álprím-teszt. Mindenesetre minél nagyobb számokról van szó, a Carmichael-számok annál ritkábban helyezkednek el közöttük. Például 1 és 1021 között mindössze 20 138 200 Carmichael-szám van (kb. 1 : 5·1013 az arány).[1]

Korselt kritériuma

A Carmichael-számok egy alternatív és az eredetivel egyenértékű megfogalmazása Korselt kritériumán alapszik.

Tétel (A. Korselt 1899): Egy n {\displaystyle n} pozitív egész összetett szám akkor és csak akkor Carmichael-szám, ha n {\displaystyle n} négyzetmentes, és n {\displaystyle n} minden p {\displaystyle p} prímosztójára igaz, hogy p − 1 ∣ n − 1 {\displaystyle p-1\mid n-1} .

A tételből következik, hogy minden Carmichael-szám páratlan, hiszen bármely négyzetmentes páros összetett számnak (melynek tehát csak egyszeres prímtényezője a 2) van legalább egy páratlan prímtényezője, ezért a p − 1 ∣ n − 1 {\displaystyle p-1\mid n-1} kifejezés szerint páros oszt páratlant, ami ellentmondás. (A Carmichael-számok páratlan mivolta következik abból is, hogy − 1 {\displaystyle -1} Fermat-tanúja bármely páros összetett számnak.) A kritériumból következik az is, hogy a Carmichael-számok ciklikusak.[2][3] Az eddigiekből az is következik, hogy egyik Carmichael-számnak sincsen pontosan két prímtényezője (nem félprímek).

Felfedezésük

Korselt volt az első, aki megállapította a Carmichael-számok alapvető tulajdonságait, de anélkül, hogy egyetlen példa is ismert lett volna előtte. 1910-ben Carmichael[4] találta meg az első, egyben legkisebb ilyen számot, az 561-et, innen a „Carmichael-szám” elnevezés.

Az, hogy az 561 Carmichael-szám, jól látható a Korselt-féle kritérium alapján. Valóban, 561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17 {\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17} négyzetmentes, továbbá 2 ∣ 560 , 10 ∣ 560 , 16 ∣ 560 {\displaystyle 2\mid 560,\quad 10\mid 560,\quad 16\mid 560} .

A következő hat Carmichael-szám (A002997 sorozat az OEIS-ben):

1105 = 5 ⋅ 13 ⋅ 17 ( 4 ∣ 1104 ; 12 ∣ 1104 ; 16 ∣ 1104 ) {\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\quad 12\mid 1104;\quad 16\mid 1104)}
1729 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ( 6 ∣ 1728 ; 12 ∣ 1728 ; 18 ∣ 1728 ) {\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\quad 12\mid 1728;\quad 18\mid 1728)}
2465 = 5 ⋅ 17 ⋅ 29 ( 4 ∣ 2464 ; 16 ∣ 2464 ; 28 ∣ 2464 ) {\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\quad 16\mid 2464;\quad 28\mid 2464)}
2821 = 7 ⋅ 13 ⋅ 31 ( 6 ∣ 2820 ; 12 ∣ 2820 ; 30 ∣ 2820 ) {\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\quad 12\mid 2820;\quad 30\mid 2820)}
6601 = 7 ⋅ 23 ⋅ 41 ( 6 ∣ 6600 ; 22 ∣ 6600 ; 40 ∣ 6600 ) {\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\quad 22\mid 6600;\quad 40\mid 6600)}
8911 = 7 ⋅ 19 ⋅ 67 ( 6 ∣ 8910 ; 18 ∣ 8910 ; 66 ∣ 8910 ) . {\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\quad 18\mid 8910;\quad 66\mid 8910).}

Az első hét Carmichael-számot, 561-től 8911-ig valójában a cseh matematikus, Václav Šimerka találta meg 1885-ben[5] (ezzel Carmichael mellett Korseltet is megelőzve, bár Šimerka nem fedezett fel a Korselt-kritériumhoz hasonlót). Munkája azonban feledésbe merült.

J. Chernick[6] 1939-ben igazolt egy tételt, aminek segítségével a Carmichael-számok egy részhalmaza előállítható. A ( 6 k + 1 ) ( 12 k + 1 ) ( 18 k + 1 ) {\displaystyle (6k+1)(12k+1)(18k+1)} alakú számok Carmichael-számok abban az esetben, ha a szorzat mindhárom tényezője prímszám. Nyitott kérdés, hogy ez a képlet végtelen sok Carmichael-számot előállít-e, bár ez a Dickson-sejtésből következne.

Gérard P. Michon hasonló módszert alkotott Carmichael-számok konstruálására:

Ha m ≡ 326 mod 616 és a 7m + 1, 8m + 1 és 11m + 1 számok mind prímszámok, akkor a (7m+1)·(8m+1)·(11m+1) szorzat Carmichael-szám. Az m-nek hárommal oszthatónak kell lennie, különben a három szám közül valamelyik 3-mal osztható lesz.

Példa: m = 24966-ra mindhárom szám prím: 174763, 199729, 274627 – szorzatuk ezért Carmichael-szám.
Michon módszerével egy 1000 jegyű Carmichael-szám előállítása:

(12936·10329 − 59827428149)·(14784·10329 − 68374203599)·(20328·10329 − 94014529949).

Erdős Pál heurisztikusan a végtelen sok Carmichael-szám létezése mellett érvelt. 1994-ben W. R. (Red) Alford, Andrew Granville és Carl Pomerance igazolták, hogy valóban végtelen sok Carmichael-szám létezik. Egész pontosan megmutatták, hogy elegendően nagy n {\displaystyle n} -re legalább n 2 / 7 {\displaystyle n^{2/7}} Carmichael-szám létezik 1 és n {\displaystyle n} között.[7]

Löh és Niebuhr 1992-ben néhány igen nagyméretű Carmichael-számot állítottak elő, köztük egy több mint 16 millió jegyűt, 1 101 518 prímtényezővel.

Erdős Pál csoportelméleti megfontolásai és modern számítógépes algoritmusok segítségével 2012 júliusában előállítottak egy több mint 10 milliárd prímtényezővel rendelkező és több mint 300 milliárd jegyű Carmichael-számot.[8]

Tulajdonságaik

Prímtényezős felbontások

A Carmichael-számoknak legalább három pozitív prímtényezőjük van. Léteznek olyan R számok, melyekhez végtelen sok éppen R prímtényezővel rendelkező Carmichael-szám tartozik; sőt, végtelen sok ilyen R szám létezik.[9]

Az első Carmichael-számokat k = 3 , 4 , 5 , … {\displaystyle k=3,4,5,\ldots } darab prímtényezővel a (A006931 sorozat az OEIS-ben) sorolja:

k  
3 561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17 {\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17\,}
4 41041 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 41 {\displaystyle 41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,}
5 825265 = 5 ⋅ 7 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 73 {\displaystyle 825265=5\cdot 7\cdot 17\cdot 19\cdot 73\,}
6 321197185 = 5 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 37 ⋅ 137 {\displaystyle 321197185=5\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 37\cdot 137\,}
7 5394826801 = 7 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 67 ⋅ 73 {\displaystyle 5394826801=7\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 31\cdot 67\cdot 73\,}
8 232250619601 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 73 ⋅ 163 {\displaystyle 232250619601=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\cdot 37\cdot 73\cdot 163\,}
9 9746347772161 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 41 ⋅ 641 {\displaystyle 9746347772161=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot 641\,}

Az első Carmichael-számok 4 prímtényezővel (A074379 sorozat az OEIS-ben):

i  
1 41041 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 41 {\displaystyle 41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,}
2 62745 = 3 ⋅ 5 ⋅ 47 ⋅ 89 {\displaystyle 62745=3\cdot 5\cdot 47\cdot 89\,}
3 63973 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 37 {\displaystyle 63973=7\cdot 13\cdot 19\cdot 37\,}
4 75361 = 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 31 {\displaystyle 75361=11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\,}
5 101101 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 101 {\displaystyle 101101=7\cdot 11\cdot 13\cdot 101\,}
6 126217 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 73 {\displaystyle 126217=7\cdot 13\cdot 19\cdot 73\,}
7 172081 = 7 ⋅ 13 ⋅ 31 ⋅ 61 {\displaystyle 172081=7\cdot 13\cdot 31\cdot 61\,}
8 188461 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 109 {\displaystyle 188461=7\cdot 13\cdot 19\cdot 109\,}
9 278545 = 5 ⋅ 17 ⋅ 29 ⋅ 113 {\displaystyle 278545=5\cdot 17\cdot 29\cdot 113\,}
10 340561 = 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 67 {\displaystyle 340561=13\cdot 17\cdot 23\cdot 67\,}

A második Carmichael-szám (1105) többféleképpen fejezhető ki két szám négyzetének összegeként, mint bármely nála kisebb szám. A harmadik Carmichael-szám (1729) pedig a legkisebb szám, ami kétféleképpen írható fel két pozitív köbszám összegeként.

Eloszlásuk

Jelölje C ( X ) {\displaystyle C(X)} az X {\displaystyle X} -nél nem nagyobb Carmichael-számok számát. A Carmichael-számok eloszlása 10 hatványai szerint (A055553 sorozat az OEIS-ben):[1]

n {\displaystyle n} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
C ( 10 n ) {\displaystyle C(10^{n})} 0 0 1 7 16 43 105 255 646 1547 3605 8241 19279 44706 105212 246683

1953-ban Knödel igazolta a következő felső korlátot:

C ( X ) < X exp ⁡ ( − k 1 ( log ⁡ X log ⁡ log ⁡ X ) 1 2 ) {\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)}

ahol k 1 {\displaystyle k_{1}} konstans.

Erdős Pál 1956-ban javította a korlátot:[10]

C ( X ) < X exp ⁡ ( − k 2 log ⁡ X log ⁡ log ⁡ log ⁡ X log ⁡ log ⁡ X ) {\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)}

ahol k 2 {\displaystyle k_{2}} konstans. Erdős heurisztikus érvelése szerint ez a felső korlát közel lehet a C ( X ) {\displaystyle C(X)} valódi növekedési rátájához. A következő táblázat megadja az Erdős-féle korlátban szereplő k konstans hozzávetőleges minimális értékeit X = 10 n {\displaystyle X=10^{n}} -re n növekvő értékeinél:

n {\displaystyle n} 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21
k 2,19547 1,97946 1,90495 1,86870 1,86377 1,86293 1,86406 1,86522 1,86598 1,86619

A másik irányban Alford, Granville és Pomerance 1994-ben igazolták,[7] hogy elegendően nagy X esetében

C ( X ) > X 2 7 . {\displaystyle C(X)>X^{\frac {2}{7}}.}

2005-ben ezt a korlátot Harman tovább javította[11]

C ( X ) > X 0 , 332 {\displaystyle C(X)>X^{0,332}} -re,

majd kicsivel 1 / 3 {\displaystyle 1/3} fölé.

A Carmichael-számok aszimptotikus eloszlásával több sejtés foglalkozik. Erdős 1956-os sejtése[10] szerint kellően nagy X-re X 1 − o ( 1 ) {\displaystyle X^{1-o(1)}} Carmichael-szám létezik. Pomerance 1981-ben[12] megjavította Erdős heurisztikus érvelését a következőre:

X 1 − { 1 + o ( 1 ) } log ⁡ log ⁡ log ⁡ X log ⁡ log ⁡ X {\displaystyle X^{1-{\frac {\{1+o(1)\}\log \log \log X}{\log \log X}}}} .

Az eddig kiszámított adatok (például a Pinch[1] által 1021-ig végzett számítások) még nem mutatják a sejtések érvényességét.

Általánosítások

A Carmichael-szám mögött álló elgondolás általánosítható egy K számtest Carmichael-ideáljaként. Bármely O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} -ban lévő p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} nemnulla prímideál esetében α N ( p ) ≡ α ( mod p ) {\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {p}})}\equiv \alpha ({\bmod {\mathfrak {p}}})} bármely O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} -ben lévő α {\displaystyle \alpha } -ra, ahol N ( p ) {\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {p}})} a p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} idál normája. (Ez a kis Fermat-tétel általánosítása, ami szerint m p ≡ m ( mod p ) {\displaystyle m^{p}\equiv m({\bmod {p}})} minden m egészre, ha p prímszám.) Legyen egy O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} -ban lévő a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} nemnulla ideál Carmichael-ideál, ha nem prímideál és α N ( a ) ≡ α ( mod a ) {\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {a}})}\equiv \alpha ({\bmod {\mathfrak {a}}})} minden all O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} -ban lévő α {\displaystyle \alpha } -ra, ahol N ( a ) {\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {a}})} az a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ideál normája. Ha K éppen Q {\displaystyle \mathbf {Q} } , akkor az a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ideál főideál, és ha a a pozitív generátora, akkor az a = ( a ) {\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)} ideál pontosan akkor Carmichael-féle, amikor a a szokott értelemben vett Carmichael-szám.

Ha K nagyobb, mint a racionális számok halmaza, könnyű az O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} Carmichael-ideáljainak leírása: bármely p prímszámra, ami K-ben teljesen felbomlik, a p O K {\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}} főideál Carmichael-ideál. Mivel bármely számtestben végtelen sok prímszám bomlik fel teljesen, ezért O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} -ban végtelen sok Carmichael-ideál létezik. Például ha p olyan prímszám, hogy p≡1 (mod 4), akkor a Z[i] Gauss-egészek körében (p) Carmichael-ideál.

A prímek és a Carmichael-számok is teljesítik a következő egyenlőséget:

gcd ( ∑ x = 1 n − 1 x n − 1 , n ) = 1 {\displaystyle \gcd \left(\sum _{x=1}^{n-1}x^{n-1},n\right)=1} (gcd = lnko)

Magasabbrendű Carmichael-számok

A Carmichael-számok az absztrakt algebra koncepcióinak segítségével más módon is általánosíthatók.

Egy n összetett szám pontosan akkor Carmichael-szám, ha a pn n-edik hatványra emelő függvény az egész számokat modulo n tartalmazó Zn gyűrűn értelmezve Zn-be éppen az identitásfüggvényt adja. Az identitás az egyetlen Zn-algebrai endomorfizmus Zn-en, tehát a definíció újrafogalmazható úgy, hogy pn legyen Zn algebra-endomorfizmusa. Ahogy korábban is, a pn akkor elégíti ki a feltételt, ha n prímszám.

Az n-edik hatványra emelő pn függvény definiálható bármely A Zn-algebrában. Egy tétel szerint n akkor és csak akkor prím, ha minden ilyen pn függvény algebra-endomorfizmus.

Ezzel a két feltétellel lehet megalkotni az m-edrendű Carmichael-szám fogalmát; bármely pozitív egész m számra olyan n összetett szám, melyre pn endomorfizmus minden olyan Zn-algebrán, ami m elemből generálható mint Zn-modulus. Az 1 rendű Carmichael-számok egyszerűen a közönséges Carmichael-számok.

Másodrendű Carmichael-szám

Howe szerint a 17 · 31 · 41 · 43 · 89 · 97 · 167 · 331 egy másodrendű Carmichael-szám. A szorzat értéke 443 372 888 629 441.

Tulajdonságaik

A Korselt-féle kritérium kiterjeszthető a magasabb rendű Carmichael-számokra, ahogy azt Howe megmutatta.[13]

Ugyanebben a tanulmányában szerepel egy heurisztikus érvelés arra nézve, hogy bármely m-re végtelen sok m-edrendű Carmichael-szám létezik. Ennek ellenére egyetlen 3-ad vagy magasabb rendű Carmichael-szám sem ismeretes.

Jegyzetek

  1. ↑ a b c Richard Pinch, "The Carmichael numbers up to 1021", May 2007.
  2. ↑ Carmichael Multiples of Odd Cyclic Numbers "Any divisor of a Carmichael number kmust be an odd cyclic number"
  3. ↑ A bizonyítás nagy vonalakban: ha n {\displaystyle n} négyzetmentes, de nem ciklikus, n {\displaystyle n} két prímtényezőjére, p i {\displaystyle p_{i}} -re és p j {\displaystyle p_{j}} -re igaz, hogy p i ∣ p j − 1 {\displaystyle p_{i}\mid p_{j}-1} . De ha n {\displaystyle n} teljesíti a Korselt-kritériumokat, akkor p j − 1 ∣ n − 1 {\displaystyle p_{j}-1\mid n-1} , és az „osztója” reláció tranzitivitása miatt p i ∣ n − 1 {\displaystyle p_{i}\mid n-1} . De p i {\displaystyle p_{i}} osztója n {\displaystyle n} -nek is, ami ellentmondás.
  4. ↑ R. D. Carmichael (1910). „Note on a new number theory function”. Bulletin of the American Mathematical Society 16 (5), 232–238. o. DOI:10.1090/s0002-9904-1910-01892-9.  
  5. ↑ V. Šimerka (1885). „Zbytky z arithmetické posloupnosti (On the remainders of an arithmetic progression)”. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky 14 (5), 221–225. o.  
  6. ↑ Chernick, J. (1939). „On Fermat's simple theorem”. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 269–274. o. DOI:10.1090/S0002-9904-1939-06953-X.  
  7. ↑ a b W. R. Alford (1994). „There are Infinitely Many Carmichael Numbers”. Annals of Mathematics 139, 703–722. o. DOI:10.2307/2118576.  
  8. ↑ Steven Hayman, Andrew Shallue: Constructing a ten billion factor Carmichael number Poster auf der ANTS X-Konferenz, San Diego, Juli 2012
  9. ↑ Wright, Thomas (2016. április 25.). „Factors of Carmichael numbers and a weak k-tuples conjecture”. Journal of the Australian Mathematical Society 100 (3), 421-429. o, Kiadó: Australian Mathematical Publishing Association Inc.. DOI:10.1017/S1446788715000427. (Hozzáférés: 2016. augusztus 13.)  
  10. ↑ a b Erdős, P. (1956). „On pseudoprimes and Carmichael numbers”. Publ. Math. Debrecen 4, 201–206. o.  
  11. ↑ Glyn Harman (2005). „On the number of Carmichael numbers up to x”. Bulletin of the London Mathematical Society 37, 641–650. o. DOI:10.1112/S0024609305004686.  
  12. ↑ Pomerance, C. (1981). „On the distribution of pseudoprimes”. Math. Comp. 37, 587–593. o. DOI:10.1090/s0025-5718-1981-0628717-0.  
  13. ↑ Everett W. Howe. "Higher-order Carmichael numbers." Mathematics of Computation 69 (2000), pp. 1711–1719.
  • Carmichael, R. D. (1910). „Note on a new number theory function”. Bulletin of the American Mathematical Society 16 (5), 232–238. o. DOI:10.1090/s0002-9904-1910-01892-9.  
  • Carmichael, R. D. (1912). „On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence a P − 1 ≡ 1 mod P {\displaystyle a^{P-1}\equiv 1{\bmod {P}}} ”. American Mathematical Monthly 19 (2), 22–27. o. DOI:10.2307/2972687.  
  • Chernick, J. (1939). „On Fermat's simple theorem”. Bull. Amer. Math. Soc. 45, 269–274. o. DOI:10.1090/S0002-9904-1939-06953-X.  
  • Korselt, A. R. (1899). „Problème chinois”. L'Intermédiaire des Mathématiciens 6, 142–143. o.  
  • Löh, G.; Niebuhr, W. (1996). „A new algorithm for constructing large Carmichael numbers”. Math. Comp. 65, 823–836. o. DOI:10.1090/S0025-5718-96-00692-8.  
  • Ribenboim, P.. The Book of Prime Number Records. Springer (1989). ISBN 978-0-387-97042-4 
  • Šimerka, V. (1885). „Zbytky z arithmetické posloupnosti (On the remainders of an arithmetic progression)”. Časopis pro pěstování matematiky a fysiky 14 (5), 221–225. o.  

További információk

Sablon:Természetes számok
  • m
  • v
  • sz
Természetes számok osztályozása
Hatványok és
kapcsolódó számok
a × 2b ± 1
alakú számok
Egyéb polinomikus
számok
Rekurzívan megadott
számok
Possessing a
specific set
of other numbers
Specifikus összegekkel
kifejezhető számok
Szitával
generált számok
Kódokkal kapcsolatos
  • Meertens
Figurális számok
2 dimenziós
3 dimenziós
középpontos
nem középpontos
középpontos
  • Középpontos pentatóp-
  • Négyzetes háromszög
nem középpontos
  • Pentatóp-
Álprímek
  • Carmichael-számok
  • Catalan-álprím
  • Elliptikus álprím
  • Euler-álprímek
  • Euler–Jacobi-álprím
  • Fermat-álprím
  • Frobenius-álprím
  • Lucas-álprím
  • Somer–Lucas-álprím
  • Erős álprím
Kombinatorikus
számok
  • Bell
  • Cake
  • Catalan
  • Dedekind
  • Delannoy
  • Euler
  • Fuss–Catalan
  • Lusta ételszállító-sorozat
  • Lobb
  • Motzkin
  • Narayana
  • Rendezett Bell
  • Schröder
  • Schröder–Hipparchus
Számelméleti függvények
σ(n) alapján
Ω(n) alapján
φ(n) alapján
s(n)
Egyéb kongruenciák
  • Wieferich
  • Wall–Sun–Sun
  • Wolstenholme-prím
  • Wilson
    • Egyéb prímtényezővel
    vagy osztóval kapcsolatos
    számok
    Szórakoztató
    matematika
    Számrendszerfüggő
    számok