Funzione gaussiana

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{\displaystyle \mu } — Funzioni gaussiane per diversi valori medi ( $\mu$ ) e vari valori di $\sigma ^{2}$ .

In matematica, una funzione gaussiana prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ed è una funzione della seguente forma:

f(x)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}},

per qualunque costante reale $a>0$ , $b$ e $c$ .

Le funzioni gaussiane con $c^{2}=2$ sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Integrazione

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" a cui mancano però "integrali elementari" in quanto i loro integrali non possono essere espressi mediante composizioni semplici (operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali impropri, dove l'integrazione è fatta su tutta la retta reale, possono essere valutati esattamente:

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}~.

Questo integrale, detto integrale di Gauss, può essere ottenuto tramite il teorema dei residui dell'analisi complessa, ma può anche calcolarsi con un procedimento analitico semplice.

Dimostrazione

Ponendo $I=\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx$ ,

si ha che:

I^{2}=\int _{0}^{+\infty }e^{-y^{2}}\,dy\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{0}^{+\infty }\int _{0}^{+\infty }e^{-\left(y^{2}+x^{2}\right)}\,dydx.

Passiamo a coordinate polari cioè poniamo:

x=r\cos {\theta }

y=r\sin {\theta }

tenendo presente il primo quadrante, e con i valori di $r,\theta$ (rispettivamente raggio e angolo) compresi tra:

0\;<r\;<+\infty

0\;<\theta \;<{\frac {\pi }{2}}

Rispolverando il teorema di Pitagora per cui $y^{2}+x^{2}=r^{2}$ , si può quindi scrivere:

I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{+\infty }re^{-r^{2}}\,dr\right)d\theta ,

da cui:

I^{2}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}|_{0}^{+\infty }\right)d\theta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta ={\frac {\pi }{4}}.

Notando poi che la funzione gaussiana è una funzione pari, ovvero che vale $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx$ , è dimostrato che $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2{\sqrt {I^{2}}}={\sqrt {\pi }}$ .

Applicazioni

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana è la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che è la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale.

La distribuzione normale relativa al valore atteso $\mu$ e alla deviazione standard σ e normalizzata ha la forma:

{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}~.

Si noti che è immediato ricondurre i parametri $\mu$ e $\sigma$ ai parametri $a$ , $b$ e $c$ di cui sopra.

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana è la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.