Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.
Con le notazione di Abramowitz e Stegun:
dove
è la funzione gamma di Eulero.
Con le notazione di Nielsen:
Proprietà
Relazione con altre funzioni speciali
La funzione degli errori è una funzione gamma incompleta:
![{\displaystyle \gamma (1/2,x^{2})={\sqrt {\pi }}\mathrm {erf} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32733e9dd5a1cfc42a4a420ee22fac071abcb348)
La funzione integrale esponenziale è una funzione gamma incompleta:
![{\displaystyle \Gamma (0,x)=E_{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959645481c4b78d902c4afadfb2620dfe73e3a04)
È possibile esprimere la funzione
con la funzione ipergeometrica confluente o la funzione di Whittaker:
![{\displaystyle \gamma (a,x)=a^{-1}x^{a}e^{-x}M(1,1+a,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98fd22424f739c058951e2f8e2079339355a03a)
È possibile ricondurre la somma dei reciproci dei fattoriali da 0 a
all'espressione
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {e\Gamma (n+1,1)}{\Gamma (n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2408e82a05da940a09942131cd300d5d1f36252)
Le derivate
La derivate della funzione
superiore e incompleta rispetto alla variabile x è ben nota. Essa è semplicemente data dall'integranda della funzione integrale presente nella sua definizione, ovvero:
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial x}}=-x^{a-1}e^{-x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a27e0bbf0d8bf0e5f6dcb6c770ef224f22cb62)
La derivata rispetto alla prima variabile invece è data da[1]
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a,x)}{\partial a}}=\ln(x)\Gamma (a,x)+x~T(3,a,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabdd31bce65e5dcfe18c1259c81a50f4cc81c65)
mentre la derivate seconda è data da
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (a,x)}{\partial a^{2}}}=\ln ^{2}(x)\Gamma (a,x)+2x~(\ln(x)~T(3,a,x)+T(4,a,x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c3b531c881c0efa4eaaf239f9d4586b0921dcf)
dove la funzione
è un caso speciale della G-funzione di Meijer:
![{\displaystyle T(m,a,z)=G_{m-1,m}^{~m,~0}\left(x\left|{\begin{array}{c}0,0,\ldots 0\\-1,-1,\ldots ,a-1,-1\end{array}}\right.\right)~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6df652d72d797cb4b5bdf6cf72e82751cc9a63)
Questo particolare caso speciale ha la proprietà di essere chiuso internamente ovvero può essere usato per esprimere tutte le derivate successive. In generale si ha che
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (a,x)}{\partial a^{m}}}=\ln ^{m}(x)\Gamma (a,x)+mx~\sum _{i=0}^{m-1}P_{i}^{m-1}\ln ^{m-i-1}(x)~T(3+i,a,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a709b2b158d1c8178f8334f0c65596ea771e18)
dove
è la permutazione definita attraverso il simbolo di Pochhammer, ovvero
![{\displaystyle P_{j}^{i}=\left({\begin{array}{l}i\\j\end{array}}\right)j!={\frac {i!}{(i-j)!}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abf3f451f0871a5396c352b952ba0a395e2fb14)
Tutte le derivate possono essere ottenute in successione partendo da
![{\displaystyle {\frac {\partial T(m,a,x)}{\partial a}}=\ln(x)~T(m,a,x)+(m-1)T(m+1,a,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12dad8cc247d657e55003a597dd6eb2d355fd4a5)
e
![{\displaystyle {\frac {\partial T(m,a,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}(T(m-1,a,x)+T(m,a,x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50210afb7177f9d413d70332e26668f2917edcb4)
La funzione T(m,a,x) può essere calcolata usando la sua rappresentazione in serie che risulta essere valida quando
, ovvero
![{\displaystyle T(m,a,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left.(\Gamma (a-t)z^{t-1})\right]_{t=0}+\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}z^{a-1+i}}{i!(-a-i)^{m-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d1364446967ae75fdd2a3a70d4309185a57c47)
Nell'espressione sopra si assume che s sia un intero non negativo o zero e il suo valore richiede il calcolo di un limite. Il caso
può essere analizzato usando l'estensione analitica della funzione. Alcuni casi speciali di questa funzione sono
![{\displaystyle T(2,a,x)={\frac {\Gamma (a,x)}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2ff7d263160227080797c95c0d4802448cea4b)
e
![{\displaystyle x~T(3,1,x)=E_{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7667efa3c323a73f7bf837b5112aacf85e7871)
dove
è la funzione integrale esponenziale. Queste derivate e la funzione T(m,a,x) possono essere utilizzate per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali attraverso la derivazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma superiore e incompleta. Per esempio,
![{\displaystyle \int _{x}^{\infty }t^{a-1}\ln ^{m}(t)~e^{-t}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial a^{m}}}\int _{x}^{\infty }t^{a-1}e^{-t}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial a^{m}}}\Gamma (a,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7bf77836eb3cec0363c40eb10cc7e5d4ce61eb)
Questa formula può essere ulteriormente estesa o generalizzata per una ampia classe di trasformate di Laplace e di Mellin. Quando combinata con un sistema algebrico computerizzato, lo studio delle funzioni speciali fornisce un potente strumento per la soluzione di integrali definiti, in particolare quelli utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche[2] (vedere anche integrazione simbolica per maggiori dettagli).
Note
- ^ K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore e T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [1]
- ^ K.O. Geddes e T.C. Scott, Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 giugno 1989), editado por E. Kaltofen e S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [2]
Bibliografia
- M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 260
- N. Nielsen Handbuch der theorie der Gammafunktionen (Teubner, Leipzig, 1906) (Capitolo II e Capitolo XV).
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione gamma incompleta, su MathWorld, Wolfram Research.
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