Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl ${\displaystyle p}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}$

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.^[1]

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913)^[2] und 3511 (Beeger 1922).^[3] Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 10¹⁵ untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.^[4] Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist,^[5] als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ etwa ${\displaystyle \log(\log(y)/\log(x))}$ Wieferich-Primzahlen liegen.^[6] Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.^[7]

Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:^[1]

Wenn ${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0}$, wobei ${\displaystyle x,y}$ und ${\displaystyle z}$ ganze Zahlen sind, ${\displaystyle p}$ eine Primzahl ist und das Produkt ${\displaystyle xyz}$ nicht teilbar durch ${\displaystyle p}$, dann ist ${\displaystyle p}$ eine Wieferich-Primzahl, also ${\displaystyle 2^{p-1}-1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch ${\displaystyle 3^{p-1}-1}$ durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar ist.^[8] Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind ${\displaystyle p=11}$ und ${\displaystyle p=1006003}$ (Kloss 1965).^[9]

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

• Aus der Wieferich-Primzahl ${\displaystyle w}$ kann die Mersenne-Zahl ${\displaystyle M_{n}=M_{w-1}=2^{w-1}-1}$ als Produkt ${\displaystyle M_{w-1}=kw^{2}}$ konstruiert werden.

${\displaystyle n=w-1}$ ist somit (trivialerweise, da ${\displaystyle n}$ geradzahlig) nicht prim, und ${\displaystyle M_{n}}$ keine Mersenne-Primzahl.

• Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen ${\displaystyle M_{p}<M_{w-1}}$ (mit primen Exponenten ${\displaystyle p}$) gibt, die durch ${\displaystyle w^{2}}$ teilbar sind. Dabei muss ${\displaystyle p}$ ein Teiler von ${\displaystyle w-1}$ sein, wenn ${\displaystyle M_{p}}$ durch ${\displaystyle w}$ teilbar sein soll.

Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:

Da ${\displaystyle w-1}$ nicht prim ist, handelt es sich bei ${\displaystyle 2^{w-1}-1}$ nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl ${\displaystyle 2^{p}-1}$ mit ${\displaystyle p={\frac {w-1}{x}}}$ geben, die durch ${\displaystyle w^{2}}$ teilbar ist; d. h., dass die Länge ${\displaystyle g(w)}$ der multiplikativen zyklischen Subgruppe von ${\displaystyle w}$ zur Basis 2 prim sein müsste.

Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen ${\displaystyle g(1093)=364=4\cdot 7\cdot 13}$ und ${\displaystyle g(3511)=1755=3^{3}\cdot 5\cdot 13}$ nicht prim.

Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen ${\displaystyle 2^{p}-1}$ sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".^[10]

• Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

Bspw. ist zur Basis 3 mit ${\displaystyle {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=11^{2}}$ die Bedingung ${\displaystyle w^{2}}$ teilt ${\displaystyle 3^{p}-1}$ (mit ${\displaystyle w,p}$ prim) erfüllt.

Zur Basis 2819 tritt ${\displaystyle w=19}$ bei ${\displaystyle 2819^{3}-1=x\cdot 19^{4}}$ das Wieferich-analog ${\displaystyle w=19}$ sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.

• Für eine Wieferich-Primzahl ${\displaystyle p}$ gilt:

${\displaystyle 2^{p^{2}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}.}$

• Mit ${\displaystyle 2^{n}\equiv 1{\pmod {p}}}$ tritt stets gleichzeitig ${\displaystyle 2^{n}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$ auf.

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch; aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

Weblinks

• Wieferich@Home - search for Wieferich prime. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wieferich Prime. In: MathWorld (englisch).
• Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Arthur Wieferich: Zum letzten Fermatschen Theorem. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 136, 1909, S. 293–302
2. ↑ Waldemar Meißner: Über die Teilbarkeit von 2^p−2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093. In: Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 10. Juli 1913, S. 663–667
3. ↑ N. G. W. H. Beeger: On a new case of the congruence 2^p−1 ≡ 1 (mod p²). In: Messenger of Mathematics, 51, 1922, S. 149–150 (englisch) Textarchiv – Internet Archive
4. ↑ François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 10¹⁵. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
5. ↑ Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
6. ↑ Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. In: Mathematics of Computation, 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
7. ↑ Joseph H. Silverman: Wieferich’s criterion and the abc-conjecture. In: Journal of Number Theory, 30, Oktober 1988, S. 226–237 (englisch)
8. ↑ D. Mirimanoff: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences, 150, 1910, S. 204–206, Textarchiv – Internet Archive; erweiterte Version: Sur le dernier théorème de Fermat. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 139, 1911, S. 309–324 (französisch)
9. ↑ K. E. Kloss: Some number-theoretic calculations. In: Journal of Research of the National Bureau of Standards, 69B, Oktober–Dezember 1965, S. 335–336 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
10. ↑ Eric W. Weisstein: Mersenne Number. In: MathWorld (englisch).