Wall-Sun-Sun-Primzahl

Eine Wall-Sun-Sun-Primzahl, benannt nach D. D. Wall, Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun, ist eine Primzahl p > 5, für die die durch p teilbare Zahl

F{\bigl (}p-{\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}{\bigr )}

durch $p^{2}$ teilbar ist. Dabei ist F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und ${\bigl (}{\tfrac {a}{b}}{\bigr )}$ das Legendre-Symbol von a und b, also ${\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}$ ist 1, wenn 5 ein Teiler von $p^{2}-1$ ist, und $-1$ sonst. D. D. Wall stellte 1960 die Frage, ob solche Primzahlen existieren.^[1] Die Frage ist bis heute offen, insbesondere sind keine Wall-Sun-Sun-Primzahlen bekannt. Wenn eine Wall-Sun-Sun-Primzahl existiert, muss sie größer als 9,7 × 10¹⁴ sein.^[2] Es gibt die Vermutung, dass unendlich viele existieren.^[3]

Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun zeigten 1992, dass eine ungerade Primzahl p eine Wall-Sun-Sun-Primzahl ist, wenn ein bestimmtes Gegenbeispiel zur Fermatschen Vermutung existiert, nämlich nicht durch p teilbare ganze Zahlen x, y, z mit x^p + y^p = z^p.^[4] Diese Eigenschaft hatte auch Wieferich 1909 für Wieferich-Primzahlen nachgewiesen. Mit dem Beweis der Vermutung 1995 ist allerdings geklärt, dass kein Gegenbeispiel existiert, also die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann.

Siehe auch

Wilson-Primzahl
Wolstenholme-Primzahl

Weblinks

The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
Eric W. Weisstein: Wall-Sun-Sun prime. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

↑ D. D. Wall: Fibonacci series modulo m. In: American Mathematical Monthly, 67, 1960, S. 525–532 (englisch)
↑ François G. Dorais, Dominic W. Klyve: A Wieferich prime search up to 6.7 × 10¹⁵. In: Journal of Integer Sequences, 14, 16. Oktober 2011, Artikel 11.9.2 (englisch)
↑ Jiří Klaška: Short remark on Fibonacci-Wieferich primes. In: Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, 15, 2007, S. 21–25 (englisch)
↑ Zhi-Hong Sun, Zhi-Wei Sun: Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem. (PDF; 186 kB) In: Acta Arithmetica, 60, 1992, S. 371–388

V – D

Primzahlmengen

formelbasiert	Carol ((2ⁿ − 1)² − 2) \| Doppelte Mersenne (2^{2^p − 1} − 1) \| Fakultät (n! ± 1) \| Fermat (2^2ⁿ + 1) \| Kubisch (x³ − y³)/(x − y) \| Kynea ((2ⁿ + 1)² − 2) \| Leyland (x^y + y^x) \| Mersenne (2^p − 1) \| Mills (A^3ⁿ) \| Pierpont (2^u⋅3^v + 1) \| Primorial (p_n# ± 1) \| Proth (k⋅2ⁿ + 1) \| Pythagoreisch (4n + 1) \| Quartisch (x⁴ + y⁴) \| Thabit (3⋅2ⁿ − 1) \| Wagstaff ((2^p + 1)/3) \| Williams ((b-1)⋅bⁿ − 1) \| Woodall (n⋅2ⁿ − 1)
Primzahlfolgen	Bell \| Fibonacci \| Lucas \| Motzkin \| Pell \| Perrin
eigenschaftsbasiert	Elitär \| Fortunate \| Gut \| Glücklich \| Higgs \| Hochkototient \| Isoliert \| Pillai \| Ramanujan \| Regulär \| Stark \| Stern \| Wall–Sun–Sun \| Wieferich \| Wilson
basisabhängig	Belphegor \| Champernowne \| Dihedral \| Einzigartig \| Fröhlich \| Keith \| Lange \| Minimal \| Mirp \| Permutierbar \| Primeval \| Palindrom \| Repunit-Primzahl ((10ⁿ − 1)/9) \| Schwach \| Smarandache–Wellin \| Strobogrammatisch \| Tetradisch \| Trunkierbar \| Zirkular
basierend auf Tupel	Ausbalanciert (p − n, p, p + n) \| Chen \| Cousin (p, p + 4) \| Cunningham (p, 2p ± 1, …) \| Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) \| Konstellation \| Sexy (p, p + 6) \| Sichere (p, (p − 1)/2) \| Sophie Germain (p, 2p + 1) \| Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) \| Zwilling (p, p + 2) \| Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe	Titanisch (1.000+ Stellen) \| Gigantisch (10.000+ Stellen) \| Mega (1.000.000+ Stellen) \| Beva (1.000.000.000+ Stellen)