Primzahlzwillings-Bi-Kette

In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k+1}$ eine Primzahlenfolge der Form

${\displaystyle (n-1,n+1),(2n-1,2n+1),\ldots (2^{k}\cdot n-1,2^{k}\cdot n+1)}$

(der Ausdruck kommt vom englischen Bi-twin chain bzw. Bitwin chain).^[1]

Beispiele

• Die kleinsten ${\displaystyle n}$, welche eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 generieren (also auf die beiden Paare ${\displaystyle (n-1,n+1),(2n-1,2n+1)}$ führen), sind die folgenden:

6, 30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, 6270, 10530, 33180, 41610, 44130, 53550, 55440, 57330, 63840, 65100, 70380, 70980, 72270, 74100, 74760, 78780, 80670, 81930, 87540, 93240, 102300, 115470, 124770, 133980, 136950, 156420, … (Folge A066388 in OEIS)

• Die kleinsten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge ${\displaystyle k+1}$ sind die folgenden (dabei ist ${\displaystyle n\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\ldots \cdot n}$ das Produkt aller Primzahlen bis ${\displaystyle n}$ (Primfakultät)):^[2]

${\displaystyle k+1}$	kleinste bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k+1}$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2\#\cdot 2\pm 1}$ (also ${\displaystyle (3,5)}$)	${\displaystyle 1}$	---	---
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1}$ (also ${\displaystyle (5,7),(11,13)}$)	${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 2}$	---	---
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1005\cdot 7\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2}$	${\displaystyle 6}$	September 1998	Henri Lifchitz
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 151\cdot 7\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=3,4,5,6}$	${\displaystyle 6}$ bis ${\displaystyle 7}$	September 1998	Henri Lifchitz
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1394847\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,3,4}$	${\displaystyle 11}$ bis ${\displaystyle 12}$	Dezember 1998	Jack Brennen
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 1228253271\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=1,2,3,4,5,6}$	${\displaystyle 14}$ bis ${\displaystyle 16}$	Dezember 1998	Jack Brennen
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 11228462199623\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,3,4,5,6}$	${\displaystyle 18}$ bis ${\displaystyle 20}$	Oktober 1999	Paul Jobling
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 21033215071024191\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,3,4,5,6,7}$	${\displaystyle 21}$ bis ${\displaystyle 23}$	Februar 2002	Paul Jobling, Phil Carmody
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 1873321386459914635\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=1,2,3,4,5,6,7,8,9}$	${\displaystyle 24}$ bis ${\displaystyle 26}$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski

• Die größten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge ${\displaystyle k+1}$ sind die folgenden:^[2]

${\displaystyle k+1}$	größte bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k+1}$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker	Quelle
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}$	${\displaystyle 388342}$	September 2016	Tom Greer	[3][4][5]
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 117864619517\cdot 6907\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=1,2}$	${\displaystyle 2971}$ und ${\displaystyle 2972}$	Juni 2017	Oscar Östlin
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 204035674219\cdot 1609\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2}$	${\displaystyle 695,695}$ und ${\displaystyle 695}$	Juli 2016	Didier Boivin
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 9185178409925\cdot 487\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,3}$	${\displaystyle 214,214,215}$ und ${\displaystyle 215}$	Februar 2017	Didier Boivin
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 4423253751167971164005\cdot 307\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=15,16,17,18,19}$	${\displaystyle 149,150,150,150}$ und ${\displaystyle 151}$	April 2015	Andrey Balyakin
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073\cdot 61\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=45,46,47,48,49,50}$	${\displaystyle 118,118,118,119,}$ ${\displaystyle 119}$ und ${\displaystyle 119}$	April 2014	Primecoin
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1165654412459516061933\cdot 73\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=7,8,9,10,11,12,13}$	${\displaystyle 52,53,53,53,}$ ${\displaystyle 53,54}$ und ${\displaystyle 54}$	April 2015	Andrey Balyakin
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 10739718035045524715\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=0,1,2,3,4,5,6,7}$	${\displaystyle 24,24,25,25,25,}$ ${\displaystyle 26,26}$ und ${\displaystyle 26}$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 1873321386459914635\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle n=1,2,3,4,5,6,7,8,9}$	${\displaystyle 24,24,24,24,25,}$ ${\displaystyle 25,25,26}$ und ${\displaystyle 26}$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski

Die Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 9 ist momentan (Stand: 20. Juni 2017) die längste bekannte Kette. Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Länge.

Eigenschaften

• Eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 1 hat die Form ${\displaystyle (n-1,n+1)}$. Man nennt sie Primzahlzwilling.
• Jedes der Paare ${\displaystyle (2^{i}\cdot n-1,2^{i}\cdot n+1)}$ mit ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ist ein Primzahlzwilling.
• Die Zahlen ${\displaystyle n-1,2n-1,\ldots ,2^{k}n-1}$ bilden eine Cunningham-Kette der ersten Art mit ${\displaystyle k+1}$ Gliedern.
• Die Zahlen ${\displaystyle n+1,2n+1,\ldots ,2^{k}n+1}$ bilden eine Cunningham-Kette der zweiten Art mit ${\displaystyle k+1}$ Gliedern.
• Jede Primzahl der Form ${\displaystyle 2^{i}\cdot n-1}$ mit ${\displaystyle 0\leq i\leq k-1}$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl.
• Jede Primzahl der Form ${\displaystyle 2^{i}\cdot n-1}$ mit ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ist eine sichere Primzahl.
• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n>6}$, sodass ${\displaystyle (n-1,n+1),(2n-1,2n+1)}$ mindestens eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 ist. Dann gilt:^[6]

${\displaystyle n=30k}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k+1}$ ist eine Primzahlenfolge der Form

${\displaystyle (n-1,n+1),(b\cdot n-1,b\cdot n+1),\ldots (b^{k}\cdot n-1,b^{k}\cdot n+1)}$ mit ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$

Beispiele

• Die größten verallgemeinerten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge ${\displaystyle k+1}$ sind die folgenden:^[2]

${\displaystyle k+1}$	größte bekannte verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge ${\displaystyle k+1}$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 570323880\cdot {\frac {16500\#}{673949}}\cdot b^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle b=8087388}$ und ${\displaystyle n=1,2}$	${\displaystyle 7120}$ und ${\displaystyle 7127}$	September 2004	Phil Carmody, Jens K. Andersen
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2203\#\cdot 2^{161}\cdot 3^{66}\cdot 5^{69}\cdot 7^{73}\cdot 11^{23}\cdot 13^{23}\cdot 17^{26}\cdot 19^{23}\cdot 23^{22}\cdot 29^{22}\cdot 31^{22}\cdot 37^{25}\cdot 41^{23}\cdot 43^{25}\cdot 47^{25}\cdot 53^{26}\cdot 59^{25}\cdot 61^{23}\cdot b^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle b=2^{21}\cdot 3^{12}\cdot 5^{11}\cdot 7^{9}\cdot 11^{3}\cdot 13^{3}\cdot 17^{2}\cdot 19^{3}\cdot 23^{4}\cdot 29^{4}\cdot 31^{4}\cdot 37^{3}\cdot 41^{3}\cdot 43^{3}\cdot 47^{3}\cdot 53^{2}\cdot 59^{3}\cdot 61^{3}}$ und ${\displaystyle n=1,2,3}$	${\displaystyle 1702,1793}$ und ${\displaystyle 1884}$	Oktober 2004	Ralph Twain
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\frac {66\cdot 630^{5}\cdot 22218733^{2}\cdot 19\#\cdot 317\#}{561857}}\cdot b^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle b={\frac {8084448001600\cdot (13\#)^{3}\cdot 197\#}{12863477}}}$ und ${\displaystyle n=1,2,3,4}$	${\displaystyle 261,360,459}$ und ${\displaystyle 558}$	August 2004	Jens K. Andersen
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle (1250561\cdot 151\#+423642234015)\cdot b^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle b=4}$ und ${\displaystyle n=1,2,3,4,5}$	${\displaystyle 67,67,68,68}$ und ${\displaystyle 69}$	August 2004	Jens K. Andersen
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle {\frac {526583\cdot 83\#+27663009\cdot 19\#}{4}}\cdot b^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle b=4}$ und ${\displaystyle n=1,2,3,4,5,6}$	${\displaystyle 39,39,40,40,41}$ und ${\displaystyle 42}$	August 2004	Jens K. Andersen
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 1394855870347655081\cdot 13\#\cdot b^{n}\pm 1}$ mit ${\displaystyle b=4}$ und ${\displaystyle n=2,3,4,5,6,7,8}$	${\displaystyle 24,25,26,26,27,27}$ und ${\displaystyle 28}$	August 2004	Jens K. Andersen

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: CRC Concise Ennyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall/CRC, 2015, S. 249, abgerufen am 4. Juli 2018. 
2. ↑ ^{a b c} Henri Lifchitz: BiTwin records. 2017, abgerufen am 4. Juli 2018. 
3. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Twin Primes. Prime Pages, abgerufen am 4. Juli 2018. 
4. ↑ 2996863034895 •2^1290000 - 1 auf Prime Pages
5. ↑ 2996863034895 •2^1290000 + 1 auf Prime Pages
6. ↑ Neil Sloane: Numbers n such that n and 2n are both between a pair of twin primes. (Comments). OEIS, 2018, abgerufen am 5. Juli 2018. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bitwin Chain. In: MathWorld (englisch).