Bölme kuralı

Kalkülüs
Kalkülüs
Türev
İntegral

İntegral Alma Yöntemleri:

  • Kısmi İntegrasyon
  • değişken değiştirme
Çok değişkenli
  • g
  • t
  • d

Bölme kuralı, yüksek matematikte diğer iki işlevin bölümü şeklinde olan bir işlev in türevinin hesaplanmasında kullanılır.

d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}}

İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

d d x ( f g − 1 ) = f ′ g − 1 + f ( g − 1 ) ′ = f ′ g − 1 + f ( − 1 ) g − 2 g ′ = g 2 g 2 ( f ′ g − 1 − f g − 2 g ′ ) = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg^{-1})&=f'g^{-1}+f(g^{-1})'\\&=f'g^{-1}+f(-1)g^{-2}g'\\&={\frac {g^{2}}{g^{2}}}\left(f'g^{-1}-fg^{-2}g'\right)\\&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\\end{alignedat}}}

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus ( g − 1 ) ′ {\displaystyle (g^{-1})'\,} türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler

( 4 x − 2 ) / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle (4x-2)/(x^{2}+1)} ifadesinin türevi:

d d x [ ( 4 x − 2 ) x 2 + 1 ] = ( x 2 + 1 ) ( 4 ) − ( 4 x − 2 ) ( 2 x ) ( x 2 + 1 ) 2 = ( 4 x 2 + 4 ) − ( 8 x 2 − 4 x ) ( x 2 + 1 ) 2 = − 4 x 2 + 4 x + 4 ( x 2 + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}

Yukardaki örnekte

g ( x ) = 4 x − 2 {\displaystyle g(x)=4x-2}
h ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle h(x)=x^{2}+1}

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x2 ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

cos ⁡ ( x ) x 2 − sin ⁡ ( x ) 2 x x 4 {\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}

olarak bulunur.

Taslak simgesiMatematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.