Teorema de Rolle

Em matemática, nomeadamente em análise, o teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua ${\displaystyle f}$ definida em um intervalo fechado ${\displaystyle [a,b]}$ e diferenciável em ${\displaystyle (a,b),}$ se ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ então existe algum ponto ${\displaystyle c}$ em ${\displaystyle (a,b)}$ onde a tangente ao gráfico de ${\displaystyle f}$ é horizontal, isto é,^[1][2]

$${\displaystyle f'(c)=0.}$$

Colocando em linguagem comum, o teorema afirma que, em qualquer função contínua de intervalo delimitado por pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ de mesma altura, ou mesma coordenada vertical, há algum ponto C em que a derivada da função, isto é, sua taxa de variação instantânea é nula.^[3]

É denominado em memória de Michel Rolle.

Intuição

O enunciado do teorema é intuitivo considerando a exigência de continuidade da própria derivada (se existente) de uma função ${\displaystyle f(x)}$: se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são as coordenadas horizontais de pontos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ de mesma altura, extremos de um intervalo, então a função ${\displaystyle f(x)}$ cresce, decresce ou permanece constante para ${\displaystyle x>a}$, nas vizinhanças de ${\displaystyle A}$. Se a função é constante, o resultado é trivial: sua derivada é nula em todo o intervalo. Se cresce, sabe-se que eventualmente tem de decrescer para retornar à mesma coordenada vertical do ponto ${\displaystyle A}$ para chegar ao ponto ${\displaystyle B}$. Por ${\displaystyle f(x)}$ ser contínua e diferenciável nesse intervalo, sua derivada também o é, e como a derivada ${\displaystyle f'(x)}$ começa positiva nas vizinhanças de ${\displaystyle A}$ e, conforme o valor de ${\displaystyle x}$ aumenta, torna-se negativa antes de chegar ao ponto ${\displaystyle B}$, é necessário que exista um ponto tal que ${\displaystyle f'(x)=0}$. O mesmo raciocínio é aplicável a uma função de derivada inicialmente negativa e posteriormente positiva.

Demonstração

Como ${\displaystyle f}$ é contínua, então, pelo teorema de Weierstrass, admite no intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ um máximo ${\displaystyle M}$ e um mínimo ${\displaystyle m.}$

Primeiro, suponha que ${\displaystyle M=m}$. Então ${\displaystyle f}$ é constante no intervalo considerado e, consequentemente, a derivada é ${\displaystyle 0}$ em todos os pontos. Portanto, o teorema é verdadeiro neste caso.

Suponha agora que ${\displaystyle M\neq m}$. Então a função assume no interior do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ um máximo, um mínimo ou até os dois. Admita-se, sem perda de generalidade, que ${\displaystyle f}$ assume o valor máximo ${\displaystyle M}$ no ponto ${\displaystyle c}$ tal que ${\displaystyle a<c<b.}$

Então, para valores de ${\displaystyle x<c}$, temos ${\displaystyle x-c<0}$ e também ${\displaystyle f(x)-f(c)\leq 0}$. Portanto,

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\geq 0.}$

Como ${\displaystyle f}$ é diferenciável no intervalo ${\displaystyle (a,b)}$, segue que

${\displaystyle \lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\geq 0.}$

Para valores de ${\displaystyle c}$ à direita de ${\displaystyle x,}$ temos ${\displaystyle x-c>0}$ e ${\displaystyle f(x)-f(c)\leq 0}$. Portanto,

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\leq 0,}$

e, também,

${\displaystyle \lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=f'(c)\leq 0.}$

Mas então conclui-se que

${\displaystyle f'(c)\geq 0}$ e ${\displaystyle f'(c)\leq 0,}$

o que só é possível se

${\displaystyle f'(c)=0,}$

provando-se assim o teorema.

A demonstração seria análoga se em vez de um ponto de máximo admitíssemos a existência de um ponto de mínimo no intervalo.^[4]

Corolários

1. Resulta do teorema de Rolle que, se ${\displaystyle I}$ for um intervalo de R e se ${\displaystyle f}$ for uma função derivável de ${\displaystyle I}$ em R, então entre quaisquer dois zeros de ${\displaystyle f}$ há pelo menos um zero da derivada. Isto pode ser usado para provar por indução que qualquer polinómio ${\displaystyle p(x)}$ de grau ${\displaystyle n}$ com coeficientes reais tem, no máximo, ${\displaystyle n}$ raízes (excepto, naturalmente, no caso do polinómio nulo).
2. Se ${\displaystyle I}$ for um intervalo de R e se ${\displaystyle f}$ for uma função derivável de ${\displaystyle I}$ em R, entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais do que um zero de ${\displaystyle f}$ (podendo não existir nenhum).^[5]

Referências

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Teorema de Rolle

• Portal da matemática