Integral múltipla

A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis.

Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o hipervolume de funções multidimensionais.

Integrais múltiplas de uma função de n variáveis sobre um domínio D são geralmente representadas por sinais de integrais juntos na ordem reversa de execução (a integral mais à esquerda é computada por último) seguidos pela função e pelos símbolos de diferenciais das variáveis de integração na ordem apropriada (a variável mais à direita é integrada por último). O domínio de integração é representado simbolicamente em todos os sinais de integração ou é, freqüentemente, abreviado por uma letra no sinal de integração mais à direita:

${\displaystyle \int \!\!\int \!\!\ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\,dx_{2}\ldots dx_{n}}$

Uma vez que é impossível calcular a primitiva de uma função de múltiplas variáveis, não existem integrais múltiplas indefinidas. Assim, todas as integrais múltiplas são definidas.

Exemplos

Por exemplo, o volume do paralelepípedo de lados 4, 5 e 6 pode ser calculado usando:

• A integral dupla

${\displaystyle \int \!\!\int _{D}\,5\,dx\,dy}$

da função ${\displaystyle f(x,y)=5}$ na região D no plano xy que forma a base do paralelepípedo.

• A integral tripla

${\displaystyle \int \!\!\int \!\!\int _{D}\,1\,dx\,dy\,dz}$

da função constante unitária sendo D o próprio paralelepípedo.

Definição

Assim como nas integrais de uma variável, a integral múltipla pode ser definida a partir de uma Soma de Riemann.^[1][2]

Integral múltipla sobre uma região retangular

Consideramos ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}}$ um retângulo de ${\displaystyle n\geq 1}$ dimensões semi-aberto:

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\,\times \,[a_{2},b_{2})\,\times \ldots \,\times \,[a_{n},b_{n})}$

Particionamos cada intervalo ${\displaystyle [a_{i},b_{i})}$ em uma família ${\displaystyle I_{i}}$ de intervalos disjuntos semi-abertos (fechados na esquerda e aberto na direita). Desta forma,

${\displaystyle C=I_{1}\,\times \,I_{2}\,\times \ldots \,\times \,I_{n}}$

é uma família finita de subretângulos disjuntos que forma uma partição de ${\displaystyle T}$.

Seja ${\displaystyle f:T\to \mathbb {R} }$ uma função definida em ${\displaystyle T}$. Para cada partição ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle T}$ temos

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

onde ${\displaystyle m}$ é o número de subretângulos pertencentes à partição ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle C_{j}}$ denota o ${\displaystyle j}$-ésimo retângulo desta. Uma soma de Riemann de ${\displaystyle f}$ associada à partição ${\displaystyle C}$ é dada por:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

onde para cada k, ${\displaystyle P_{k}}$ é um ponto pertencente a ${\displaystyle C_{k}}$ e ${\displaystyle \operatorname {m} (C_{k})}$ é o produto dos comprimentos dos intervalos que formam ${\displaystyle C_{k}}$.

Dizemos que a função ${\displaystyle f}$ é integrável pelo conceito de Riemann (ou, simplesmente, Riemann integrável) se o limite

${\displaystyle S(C,f)=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}$

existe, onde este é tomado sobre todas as partições possíveis de ${\displaystyle T}$ cujo diâmetro de cada subretângulo é no máximo δ. Se ${\displaystyle f}$ é Riemann integrável, ${\displaystyle S(C,f)}$ é chamada integral de Riemann de ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle T}$. Escrevemos:

${\displaystyle \int \!\!\int \!\!\ldots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\,dx_{2}\ldots dx_{n}=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}$

A integral múltipla sobre um subconjunto compacto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

A integral de Riemann de uma função definida sobre um subconjunto compacto qualquer pode ser definida estendendo a função para um retângulo semi-aberto cujos valores fora do domínio original são nulos. Mais precisamente, sejam ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ compacto e ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$ função limitada definida em ${\displaystyle D}$. Consideramos a extensão de ${\displaystyle f}$ para o domínio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ assumindo que ${\displaystyle f\equiv 0}$ fora de ${\displaystyle D}$. Como ${\displaystyle D}$ é limitado, tomamos um retângulo ${\displaystyle T\supset D}$.

De forma análogo ao caso anterior, dizemos que a função ${\displaystyle f}$ é Riemann integrável sobre ${\displaystyle D}$ quando existe ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ (valor da integral) tal que, para todo número real ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe uma partição ${\displaystyle C_{\epsilon }}$ de ${\displaystyle T}$ tal que se ${\displaystyle C}$ é um refinamento de ${\displaystyle C_{\epsilon }}$ e ${\displaystyle S(C,f)}$ é qualquer soma de Riemann de ${\displaystyle f}$ associada à partição ${\displaystyle C}$, então ${\displaystyle |S(C,f)-L|<\epsilon }$.

Note que o limite ${\displaystyle L}$, quando existe, não depende da escolha do retângulo ${\displaystyle T}$, desde que ele contenha ${\displaystyle D}$.

Propriedades

As integrais múltiplas têm várias propriedades análogas às integrais simples (unicidade, linearidade, aditividade, etc).^[2] Além disso, uma integral múltipla pode ser usada para definir o valor médio de uma função em um dado conjunto. Dado um conjunto ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ e uma função integrável ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle D}$, a valor médio de ${\displaystyle f}$ sobre seu domínio é dado por

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,}$

onde ${\displaystyle \;m(D)}$ é a medida de ${\displaystyle \;D}$.

Métodos de Integração

A resolução de problemas com integrais múltiplas consiste na maioria dos casos em achar um método de reduzir a integral múltipla a uma série de integrais de uma variável, sendo cada uma diretamente integrável. Este procedimento é garantido pelo Teorema de Fubini.

Fórmulas de redução

Fórmulas de redução usam o conceito de domínio simples para possibilitar a decomposição da integral múltipla como um produto de integrais simples. Essas têm que ser resolvidas da direita para a esquerda considerando as outras variáveis como constantes (o mesmo procedimento adotado para o cálculo de derivadas parciais).

Domínios no R²

Eixo x

Se ${\displaystyle D}$ é um domínio delimitado por ${\displaystyle x=a}$ (esquerda), ${\displaystyle x=b}$ (direita), ${\displaystyle y=\alpha (x)}$ (inferior) e por ${\displaystyle y=\beta (x)}$ (superior) (veja ,então, a integral pode ser reduzida a:

${\displaystyle \int \!\!\int _{D}\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int _{x=a}^{x=b}\int _{y=\alpha (x)}^{y=\beta (x)}f(x,y)\,dy\,dx}$

Eixo y

Se ${\displaystyle D}$ é um domínio delimitado por ${\displaystyle y=a}$ (superior), ${\displaystyle y=b}$ (inferior), ${\displaystyle x=\alpha (y)}$ (esquerda) e por ${\displaystyle x=\beta (y)}$ (direita),então, a integral pode ser reduzida a:

${\displaystyle \int \!\!\int _{D}\,f(x,y)\,dx\,dy\,=\int _{y=a}^{y=b}\int _{x=\alpha (y)}^{x=\beta (y)}f(x,y)\,dx\,dy}$

Domínios no R³

As integrais triplas são reduzidas a integrais duplas e estas a integrais simples; assim, se no plano ${\displaystyle xy}$ o domínio é limitado por ${\displaystyle z=\alpha (x,y)}$ e ${\displaystyle z=\beta (x,y)}$, a integral fica:

${\displaystyle \int \!\!\int _{D}\int _{z=\alpha (x,y)}^{z=\beta (x,y)}\,f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$

Agora, temos uma integral dupla sobre ${\displaystyle D}$.

Mudança de variável

Às vezes, regiões complicadas podem ser transformadas em regiões simples através de uma mudança de variável. Seja ${\displaystyle f:D\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})}$ uma bijeção de ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\displaystyle D}$. A substituição de variáveis ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})}$ para ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})}$ pode ser feita conforme seque:

${\displaystyle \int \int \cdots \int _{D}f(x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int \int \cdots \int _{T}F(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})\left|J(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})\right|du_{1}du_{2}\cdots u_{n}}$

onde ${\displaystyle F}$ é a função ${\displaystyle f}$ nas variáveis ${\displaystyle (u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})}$ e ${\displaystyle J(u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})={\frac {\partial (x_{1},~x_{2},~\ldots ,~x_{n})}{\partial (u_{1},~u_{2},~\ldots ,~u_{n})}}}$ é o determinante da matriz Jacobiana da transformação.

Integrais duplas em coordenadas polares

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle z=f(x,y)}$. Em coordenadas polares temos ${\displaystyle x=r{\text{cos}}(\theta )}$ e ${\displaystyle y=r{\text{sen}}(\theta )}$, onde ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$ e ${\displaystyle \theta ={\text{arc tg}}\left({\frac {y}{x}}\right)}$. Segue da mudança de variáveis que:

${\displaystyle \int \int _{D}f(x,y)dxdy=\int \int _{T}f[r{\text{cos}}(\theta ),~r{\text{sen}}(\theta )]|J(r,\theta )|drd\theta }$

sendo ${\displaystyle |J(r,\theta )|=r}$.^[1]

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle w=f(x,y,z)}$. Em coordenadas cilíndricas temos ${\displaystyle x=r{\text{cos}}(\theta )}$, ${\displaystyle y=r{\text{sen}}(\theta )}$ e ${\displaystyle z=z}$, onde ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$ e ${\displaystyle \theta ={\text{arc tg}}\left({\frac {y}{x}}\right)}$. Segue da mudança de variáveis que:

${\displaystyle \int \int \int _{D}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{T}f[r{\text{cos}}(\theta ),~r{\text{sen}}(\theta ),~z]|J(r,\theta ,z)|drd\theta dz}$

sendo ${\displaystyle |J(r,\theta ,z)|=r}$.

Integrais triplas em coordenadas esféricas

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ definida por ${\displaystyle w=f(x,y,z)}$. Em coordenadas esféricas temos ${\displaystyle x=\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{cos}}(\theta )}$, ${\displaystyle y=\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{sen}}(\theta )}$ e ${\displaystyle z=\rho {\text{cos}}(\phi )}$, onde ${\displaystyle \rho =x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, ${\displaystyle \phi ={\text{arc tg}}\left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)}$ e ${\displaystyle \theta ={\text{arc tg}}\left({\frac {y}{x}}\right)}$. Segue da mudança de variáveis que:

${\displaystyle \int \int \int _{D}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{T}f[\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{cos}}(\theta ),~\rho {\text{sen}}(\phi ){\text{sen}}(\theta ),~\rho {\text{cos}}(\phi )]|J(\rho ,\phi ,\theta )|d\rho d\phi d\theta }$

sendo ${\displaystyle |J(r,\phi ,\theta )|=\rho ^{2}{\text{sen}}(\phi )}$.^[1]

Visualização

O motivo de, numa mudança de variáveis, multiplicar-se o integrando pelo determinante da matriz jacobiana pode ser visualizado, para o caso de 2 variáveis, na figura abaixo:

Nesse exemplo, um mapeamento linear de (u,v) em (x,y) resulta num aumento de área e distorção angular da figura. Se selecionarmos um subdomínio do quadrado maior em (u,v), os ângulos entre lados opostos diminuem, e a imagem mapeada tende a um paralelogramo, para uma função contínua e diferenciável.

A área do paralelogramo é o produto dos lados pelo seno do ângulo entre eles.
Como na figura, o ângulo entre os lados é ${\displaystyle 90-(\alpha +\beta )}$:

${\displaystyle S_{\Delta {x}\Delta {y}}={\frac {\Delta {x}}{cos({\beta })}}*{\frac {\Delta {y}}{cos({\alpha })}}*cos({\alpha +\beta })}$,

Como ${\displaystyle cos({\alpha +\beta })=cos({\alpha })*cos({\beta })-sen({\alpha })*sen({\beta })}$:

${\displaystyle S_{\Delta {x}\Delta {y}}=\Delta {x}*\Delta {y}-\Delta {x}*\Delta {y}*tan({\alpha })*tan({\beta })}$

Dividindo por ${\displaystyle \Delta {u}*\Delta {v}}$ para determinar a relação entre as áreas:

${\displaystyle {\frac {S_{\Delta {x}\Delta {y}}}{S_{\Delta {u}\Delta {v}}}}={\frac {\Delta {x}}{\Delta {u}}}*{\frac {\Delta {y}}{\Delta {v}}}-{\frac {\Delta {x}*tan({\beta })}{\Delta {u}}}*{\frac {\Delta {y}*tan({\alpha })}{\Delta {v}}}}$

${\displaystyle \Delta {x}*tan({\beta })}$ é o deslocamento vertical em (${\displaystyle x,y}$) correspondente a ${\displaystyle \Delta {u}}$.

${\displaystyle \Delta {y}*tan({\alpha })}$ é o deslocamento vertical em (${\displaystyle x,y}$) correspondente a ${\displaystyle \Delta {v}}$.

Portanto quando ${\displaystyle \Delta {u}\Delta {v}}$ tende a zero,

${\displaystyle d{x}d{y}=({\frac {\partial {x}}{\partial {u}}}*{\frac {\partial {y}}{\partial {v}}}-{\frac {\partial {y}}{\partial {u}}}*{\frac {\partial {x}}{\partial {v}}})*d{u}d{v}}$,

a relação entre as áreas infinitesimais é o determinante da matriz jacobiana.

Um mapeamento não linear também leva ao mesmo resultado, porque ele tende à situação linear à medida que se reduz o domínio.^[3]

Ver também

• Integral
• Cálculo
• Teorema da divergência
• Teorema de Stokes
• Teorema de Green
• Teorema de Fubini

Referências