Parte inteira

Em matemática, a função piso, denotada por ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no maior número inteiro menor ou igual a ${\displaystyle x}$, enquanto a função teto, denotada por ${\displaystyle \lceil x\rceil }$, converte um número real ${\displaystyle x}$ no menor número inteiro maior ou igual a ${\displaystyle x}$.^[1] As definições formais para essas função são

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max \,\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\}}$,

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}}$.

O conceito de parte inteira ou valor inteiro de um número é definido de duas maneiras por diferentes autores^[2]. Para Graham et al.^[3], a parte inteira de ${\displaystyle x}$ é o mesmo que ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$. Para Spanier e Oldham, a parte inteira de ${\displaystyle x}$ é igual a ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ para ${\displaystyle x}$ positivo e igual a ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ para ${\displaystyle x}$ negativo. A segunda definição será representada neste artigo como ${\displaystyle \mathrm {int} (x)}$.

O mesmo acontece para parte fracionária ou valor fracionário. Para Graham et al., a parte fracionária de ${\displaystyle x}$ é igual a ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$. Para Spanier e Oldham, a parte fracionária de ${\displaystyle x}$ é igual a ${\displaystyle x-\mathrm {int} (x)}$. A segunda definição será representada neste artigo como ${\displaystyle \mathrm {frac} (x)}$.

Tanto os nomes floor e ceiling (piso e teto em inglês) como as notações ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ e ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ foram introduzidos por Kenneth E. Iverson em 1962^[1].

A parte inteira de um número fracionário ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$) é dada por:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}-{\frac {arctan(tan(\pi (x-{\frac {1}{2}})))}{\pi }}}$

Propriedades da função piso

• Tem-se

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1}$

com igualdade à esquerda se e só se x for inteiro.

• a função piso é idempotente: ${\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor }$.
• Para qualquer inteiro k e real x,

${\displaystyle \lfloor {k+x}\rfloor =k+\lfloor x\rfloor .}$

• O habitual arredondamento de x ao inteiro mais próximo expressa-se como ${\displaystyle \lfloor x+0,5\rfloor }$.
• A função piso não é contínua, mas semi-contínua. É linear por troços e a sua derivada é zero onde existe, ou seja, em todos os não inteiros.
• Se x for um real e n um inteiro, então n ≤ x se e só se n ≤ piso(x). A função piso é parte de uma correspondência de Galois; é o adjunto superior da função que aplica os inteiros nos reais.
• Para os reais não inteiros, a função piso tem uma representação de série de Fourier

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$

• Se m e n são inteiros positivos coprimos, então

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\lfloor im/n\rfloor =(m-1)(n-1)/2}$

• O Teorema de Beatty mostra que qualquer número irracional positivo permite particionar os números naturais em duas sequências pela função piso.
• Para todo o inteiro k, o seu número de algarismos é dado por:

${\displaystyle \lfloor \log _{10}(k)\rfloor +1}$

• É fácil ver que:

${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$

• e:

${\displaystyle x\leq \lceil x\rceil <x+1}$

• É possível verificar que:

${\displaystyle \int {\lfloor x\rfloor }dx=\lfloor x\rfloor (x-{\frac {\lfloor x\rfloor }{2}}-{\frac {1}{2}})+C}$

Referências

Bibliografia

• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley. ISBN 0-20155-802-5
• Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-47143-014-5
• Spanier, J.; Oldham, K. B. (1987) "The Integer-Value Int(x) and Fractional-Value frac(x) Functions." In An Atlas of Functions, Hemisphere, Cap. 9, p. 71–78. ISBN 0-89116-573-8
• Weisstein, Eric W. Integer Part MathWorld--A Wolfram Web Resource (em inglês). Página visitada em 6 de Fevereiro de 2011.