Logaritmo natural

O gráfico do logaritmo natural.
Parte de uma série de artigos sobre a
constante matemática e
Propriedades
Aplicações
  • Juro composto
  • Identidade de Euler
  • Fórmula de Euler
  • meias-vidas
    • crescimento e decaimento exponencial
Definir e
Pessoas
  • John Napier
  • Leonhard Euler
  • v
  • d
  • e

O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos os números reais estritamente positivos x {\displaystyle x} e admite uma extensão como uma função complexa analítica em C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {C} \backslash \{0\}} .

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

O logaritmo neperiano leva o nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a base e. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que:

a ( x + y ) = a x   a y {\displaystyle a^{(x+y)}=a^{x}\ a^{y}}

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo u = a x , {\displaystyle u=a^{x},} multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

u = a x , v = a y , u   v = a ( x + y ) {\displaystyle u=a^{x},v=a^{y},u\ v=a^{(x+y)}}

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno ( x < 1 ) {\displaystyle (x<1)} , temos

a x ≈ 1 + k x {\displaystyle a^{x}\approx 1+kx}

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em R {\displaystyle \mathbf {R} }

Uma maneira de definir o logaritmo natural:

ln ⁡ ( x ) : R + → R {\displaystyle \ln(x):\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} }
é através da integral:
ln ⁡ ( x ) := ∫ 1 x d t t {\displaystyle \ln(x):=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

  • ln ⁡ ( 1 ) = 0 {\displaystyle \ln(1)=0}
  • ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) , ∀ a , b > 0 {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\forall a,b>0}
  • ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:

ln ⁡ ( a b ) = ∫ 1 a b d t t = ∫ 1 a d t t + ∫ a a b d t t {\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {dt}{t}}=\int _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}+\int _{a}^{ab}{\frac {dt}{t}}}
A primeira parcela desta soma é ln ⁡ ( a ) {\displaystyle \ln(a)} e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: u = t / a , {\displaystyle u=t/a,} portanto:
ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ∫ 1 b d u u {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\int _{1}^{b}{\frac {du}{u}}}
segue que ln ⁡ ( a b ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}

Sabemos então que ln ⁡ ( x ) = log b ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{b}(x)} para alguma base b {\displaystyle b} a ser determinada.

Da simples definição temos:

d d x ln ⁡ ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}

Seja b x {\displaystyle b^{x}} a função inversa de ln ⁡ ( x ) , {\displaystyle \ln(x),} então, usando a fórmula d d x f − 1 ( x ) = 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f^{-1}(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}},} obtemos:

d d x b x = b x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=b^{x}}

Portanto b = e , {\displaystyle b=e,} onde e {\displaystyle e} é o número de Euler.

Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "loge(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log10(x) e, em Computação, log(x) para log10(x) e lg(x) para log2(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log10(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para loge(x).

Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa z {\displaystyle z} pela equação:

ln ⁡ z = ln ⁡ r + i ( θ ± 2 k π ) {\displaystyle \ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )}

onde r {\displaystyle r} é o módulo e θ {\displaystyle \theta } é o argumento medido em radianos do número complexo z {\displaystyle z} ; k = ( 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle k=(1,2,3,\dots )} e ln {\displaystyle \ln } r {\displaystyle r} define o logaritmo natural real positivo de r . {\displaystyle r.}

Assim, a função l n {\displaystyle ln} z {\displaystyle z} é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de l n {\displaystyle ln} z {\displaystyle z} o número definido por:

ln ⁡ z = ln ⁡ r + i θ {\displaystyle \ln z=\ln r+i\theta }

Derivada da função logarítmica natural

Dada a função:

f ( x ) = ln ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=\ln(x)}

a sua derivada é:

f ′ ( x ) = lim h → 0 l n ( x + h ) − l n ( x ) h = lim h → 0 l n ( ( x + h ) / x ) h = lim h → 0 1 h . l n ( 1 + h x ) = lim h → 0 l n ( 1 + h x ) 1 h = lim h → 0 l n ( 1 + 1 x / h ) 1 h {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {ln(x+h)-ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {ln((x+h)/x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}.ln(1+{\frac {h}{x}})=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {h}{x}})^{\frac {1}{h}}=\lim _{h\to 0}ln(1+{\frac {1}{x/h}})^{\frac {1}{h}}}

Após uma mudança de variável

u = x h {\displaystyle u={\frac {x}{h}}}
lim u → ∞ l n ( 1 + 1 u ) u x = 1 x lim u → ∞ l n ( 1 + 1 u ) u = 1 x . l n ( e ) {\displaystyle \lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{\frac {u}{x}}={\frac {1}{x}}\lim _{u\to \infty }ln(1+{\frac {1}{u}})^{u}={\frac {1}{x}}.ln(e)}

que resulta em:[1]

f ′ ( x ) = 1 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}

Integral da função logarítmica

Dada a função:

∫ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C {\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C}

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja:

∫ ln ⁡ ( x ) d x = ∫ ( x ) ′ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − ∫ x ( ln ⁡ ( x ) ) ′ d x . {\displaystyle \int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x(\ln(x))'dx.}

Referências

  1. ↑ «Derivadas de funções logarítmicas». Só Matemática. Consultado em 1 de junho de 2020