Exponencial matricial

Em matemática, a exponencial matricial é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes à função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Lie das matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.

Seja ${\displaystyle A\,}$ uma matriz real ou complexa ${\displaystyle n\times n\,}$, define-se ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)\,}$ pela seguinte série de potências:

${\displaystyle e^{A}:=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}\,}$, onde ${\displaystyle I\,}$ é a matriz identidade

A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.

Propriedades

Sejam ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ matrizes quadradas ${\displaystyle n\times n\,}$ e ${\displaystyle a\,}$ e ${\displaystyle b\,}$ números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por ${\displaystyle I\,}$ a matriz identidade ${\displaystyle n\times n\,}$ e por ${\displaystyle O\,}$ a matriz nula de mesmas dimensões. ${\displaystyle A^{*}\,}$ indica a matriz transposta conjugada de ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle A^{T}\,}$ denota a matriz transposta de ${\displaystyle A\,}$. São válidas as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle e^{0}=I\,}$
• ${\displaystyle e^{aA}e^{bA}=e^{(a+b)A}\,}$
• ${\displaystyle e^{A}e^{-A}=I\,}$
• Se ${\displaystyle AB=BA\,}$ então ${\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}\,}$
• Se ${\displaystyle B\,}$ é uma matriz invertível então ${\displaystyle e^{BAB^{-1}}=Be^{A}B^{-1}\,}$
• ${\displaystyle \det(e^{A})=e^{{\hbox{tr}}(A)}\,}$, onde ${\displaystyle \det(e^{A})\,}$ é o determinante de ${\displaystyle e^{A}\,}$ e ${\displaystyle {\hbox{tr}}A\,}$ é o traço de ${\displaystyle A\,}$
• ${\displaystyle e^{(A^{T})}={(e^{A})}^{T}\,}$. Disto segue que se ${\displaystyle A\,}$ é uma matriz simétrica ${\displaystyle e^{A}\,}$ também o é. Se ${\displaystyle A\,}$ é uma matriz antissimétrica é uma matriz ortogonal.
• ${\displaystyle e^{(A^{*})}={(e^{A})}^{*}\,}$. Disto segue que se ${\displaystyle A\,}$ é uma matriz hermitiana ${\displaystyle e^{A}\,}$ também o é. Se ${\displaystyle A\,}$ é uma matriz anti-hermitiana é uma matriz unitária.

Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz

Imaginemos que queremos calcular ${\displaystyle e^{A}}$ sabendo que

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

Calculemos ${\displaystyle A^{2},A^{3}...A^{n}}$

${\displaystyle A^{2}={\begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&2\\0&0\end{bmatrix}},A^{3}=A^{2}A={\begin{bmatrix}8&4\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{n}={\begin{bmatrix}2^{n}&2^{n-1}\\0&0\end{bmatrix}},n\neq 0}$

Sabemos então que

${\displaystyle e^{A}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$

${\displaystyle e^{A}=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}=I+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\begin{bmatrix}2^{n}&2^{n-1}\\0&0\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle =I+{\begin{bmatrix}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{n!}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}&{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n!}}\\0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{2}&{\frac {1}{2}}(e^{2}-1)\\0&1\end{bmatrix}}}$

Equações diferenciais ordinárias lineares

Um problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)\\y(t_{o})=y_{o}\end{array}}\right.\,}$

onde a incógnita ${\displaystyle y(t)\,}$ é um vetor de dimensão ${\displaystyle n\,}$ que depende do tempo, ${\displaystyle y_{0}\,}$ é a condição inicial e ${\displaystyle A\,}$ é uma matriz ${\displaystyle n\times n\,}$. A solução deste sistema é dada por:

${\displaystyle y(t)=e^{A(t-t_{0})}y_{0}\,}$

A matriz ${\displaystyle E(s)\,}$ definida como ${\displaystyle e^{sA}\,}$ pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial ${\displaystyle y_{0}\,}$ à solução do sistema de equações no instante ${\displaystyle t_{0}+s\,}$.

A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+f(t)\\y(t_{o})=y_{o}\end{array}}\right.\,}$

pelo Método da variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma:

${\displaystyle y(t)=e^{A(t-t_{0})}z(t)\,}$

Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos:

${\displaystyle Ae^{A(t-t_{0})}z(t)+e^{A(t-t_{0})}{\frac {d}{dt}}z(t)=Ae^{A(t-t_{0})}z(t)+f(t)\,}$

ou, resolvendo para ${\displaystyle z(t)\,}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}z(t)=e^{-A(t-t_{0})}f(t)\,}$

trocando ${\displaystyle t\,}$ por ${\displaystyle s\,}$ e integrando em ${\displaystyle [t_{0},t]\,}$, temos:

${\displaystyle z(t)=z(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{-A(s-t_{0})}f(s)ds\,}$

e, finalmente:

${\displaystyle y(t)=e^{A(t-t_{0})}y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-s)}f(s)ds\,}$