Zanurzenie (matematyka)

Zanurzenie (włożenie) – odwzorowanie różnowartościowe f : A → B {\displaystyle f\colon A\rightarrow B} obiektu A {\displaystyle A} w obiekt B {\displaystyle B} zachowujące własności obiektu zanurzanego (to, o jakie własności chodzi, zależy od rozważanej teorii).

Istnienie zanurzenia implikuje istnienie w obiekcie B {\displaystyle B} podzbioru „identycznego” z obiektem A . {\displaystyle A.}

Teoria kategorii

W teorii kategorii odpowiednikiem zanurzenia jest monomorfizm. W zależności od rozpatrywanej kategorii, np. Set, Top, Gr, VectK, monomorfizmami są odwzorowania różnowartościowe, homeomorfizmy, homomorfizmy różnowartościowe, przekształcenia liniowe różnowartościowe[1].

Teoria mnogości

W teorii zbiorów zanurzeniem zbioru A {\displaystyle A} w zbiór B {\displaystyle B} jest funkcja różnowartościowa f : A → B . {\displaystyle f\colon A\to B.}

Zbiór A {\displaystyle A} można wtedy utożsamić ze zbiorem f ( A ) , {\displaystyle f(A),} gdzie f ( A ) ⊂ B . {\displaystyle f(A)\subset B.}

Twierdzenie

Jeśli dla zbiorów A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} istnieją zanurzenia

f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} i g : B → A , {\displaystyle g\colon B\to A,}

to istnieje funkcja różnowartościowa h : B → A , {\displaystyle h\colon B\rightarrow A,} że

h ( B ) = A {\displaystyle h(B)=A} [2].

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Cantora-Bernsteina.

Dowód

Można założyć, że A {\displaystyle A} jest podzbiorem B , {\displaystyle B,} a funkcja f = i d A {\displaystyle f=id_{A}} realizuje to zawieranie. Niech Z n {\displaystyle Z_{n}} będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

Z 0 = B ∖ A , Z n + 1 = g ( Z n ) dla  n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle Z_{0}=B\setminus A,Z_{n+1}=g(Z_{n})\,{\text{dla }}n=0,1,2,\dots }

Niech Z = ⋃ n = 0 ∞ Z n . {\displaystyle Z=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }Z_{n}.} Wtedy g ( Z ) = ⋃ n = 1 ∞ Z n ⊂ A {\displaystyle g(Z)=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }Z_{n}\subset A} oraz B ∖ Z = B ∖ ( B ∖ A ∪ g ( Z ) ) = A ∖ g ( Z ) . {\displaystyle B\setminus Z=B\setminus (B\setminus A\cup g(Z))=A\setminus g(Z).}

Funkcja

h ( x ) = { g ( x ) dla  x ∈ Z x dla  x ∈ B ∖ Z {\displaystyle h(x)={\begin{cases}g(x)&{\text{dla }}x\in Z\\x&{\text{dla }}x\in B\setminus Z\end{cases}}}

jest bijekcją, bo

Z ∩ ( B ∖ Z ) = ∅ , {\displaystyle Z\cap (B\setminus Z)=\varnothing ,}
h ( Z ) ∩ h ( B ∖ Z ) = g ( Z ) ∩ ( A ∖ g ( Z ) ) = ∅ , {\displaystyle h(Z)\cap h(B\setminus Z)=g(Z)\cap (A\setminus g(Z))=\varnothing ,}

skąd wynika, że h {\displaystyle h} jest injekcją (czyli odwzorowaniem różnowartościowym) oraz

h ( Z ) ∪ h ( B ∖ Z ) = g ( Z ) ∪ ( A ∖ g ( Z ) ) = A , {\displaystyle h(Z)\cup h(B\setminus Z)=g(Z)\cup (A\setminus g(Z))=A,}

skąd wynika, że h {\displaystyle h} jest surjekcją (czyli odwzorowaniem „na”)[3].

Topologia

Topologia ogólna

W topologii ogólnej zanurzeniem przestrzeni A {\displaystyle A} w przestrzeń B {\displaystyle B} nazywa się odwzorowanie f : A → B , {\displaystyle f\colon A\to B,} takie że przestrzeń A {\displaystyle A} jest homeomorficzna ze swoim obrazem f ( A ) . {\displaystyle f(A).}

Przykłady

  • Okrąg jest homeomorficzny z dowolną krzywą zamkniętą zwyczajną (z łukiem zamkniętym) w przestrzeni R 3 . {\displaystyle {\mathcal {R}}^{3}.} Oznacza to, że można okrąg zanurzyć w przestrzeni A , {\displaystyle A,} znajdując odwzorowanie różnowartościowe f {\displaystyle f} (zanurzenie), takie że obrazem okręgu O {\displaystyle O} jest pewna krzywa γ = f ( O ) ∈ A . {\displaystyle \gamma =f(O)\in A.}
  • W szczególności można badać łuki zamknięte na płaszczyźnie. Mogą one być regularne, jak płatki śniegu.
  • Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 2)
    Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 2)
  • Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 3)
    Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 3)
  • Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 5)
    Łuk zamknięty (Płatek Kocha – iteracja 5)

Mogą także przyjmować formy nieregularne.

Twierdzenie Jordana: Każdy łuk zamknięty na płaszczyźnie rozcina ją na dwa obszary i jest ich wspólnym ograniczeniem[4].

Teoria węzłów zajmuje się zanurzeniami okręgu w przestrzeń trójwymiarową.

Tablica wszystkich węzłów pierwszych z co najwyżej siedmioma punktami skrzyżowania

Topologia różniczkowa

W topologii różniczkowej zanurzeniem przestrzeni A {\displaystyle A} w przestrzeń B {\displaystyle B} jest dyfeomorfizm f : A → B . {\displaystyle f\colon A\to B.}

Twierdzenie teorii rozmaitości gładkich

Zwarta k {\displaystyle k} -wymiarowa rozmaitość gładka klasy gładkości m > 1 {\displaystyle m>1} (tzn. m {\displaystyle m} razy różniczkowalna) może być regularnie i dyfeomorficznie zanurzona w przestrzeń euklidesową E 2 k + 1 {\displaystyle E^{2k+1}} o wymiarze 2 k + 1. {\displaystyle 2k+1.} Klasa gładkości dyfeomorfizmu jest równa m {\displaystyle m} [5].

Np. butelkę Kleina można dyfeomorficznie zanurzyć w przestrzeń euklidesową 5-wymiarową.

Topologia metryczna

Zanurzeniem przestrzeni metrycznej A {\displaystyle A} w przestrzeń metryczną B {\displaystyle B} jest izometria f : A → B . {\displaystyle f\colon A\to B.}

Algebra

W algebrze zanurzeniami są homomorfizmy różnowartościowe struktur algebraicznych.

Teoria grup

Homomorfizm h : H → G {\displaystyle h\colon H\rightarrow G} grupy multiplikatywnej H {\displaystyle H} w grupę multiplikatywną G {\displaystyle G} jest zanurzeniem, jeśli ker ⁡ ( h ) = { 1 } . {\displaystyle \ker(h)=\{1\}.}

Przykłady

  • Grupę SO 2 ( R ) {\displaystyle {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )} obrotów płaszczyzny dokoła punktu (np. początku układu współrzędnych) można zanurzyć w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}
exp : R O α ↦ e i α , {\displaystyle \exp :R_{O}^{\alpha }\mapsto e^{i\alpha },}
gdzie R O α = [ cos ⁡ α − sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α ] ∈ SO 2 ( R ) {\displaystyle R_{O}^{\alpha }={\begin{bmatrix}\cos {\alpha }&-\sin {\alpha }\\\sin {\alpha }&\cos {\alpha }\end{bmatrix}}\in {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )} dla kąta α ∈ ⟨ 0 ; 2 π ) . {\displaystyle \alpha \in \langle 0;2\pi ).}

Grupę SO 2 ( R ) {\displaystyle {\textrm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )} można zatem utożsamić z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej { e i α : α ∈ ⟨ 0 ; 2 π ) } . {\displaystyle \{e^{i\alpha }:\alpha \in \langle 0;2\pi )\}.}

Teoria ciał

  • Każdy homomorfizm φ : K → P {\displaystyle \varphi \colon K\to P} ciała K {\displaystyle K} w pierścień przemienny niezerowy P {\displaystyle P} jest zanurzeniem (jego obraz jest izomorficzny z ciałem K {\displaystyle K} )[6].
  • W każdym ciele jest zanurzone albo ciało liczb wymiernych Q , {\displaystyle \mathbb {Q} ,} albo ciało p {\displaystyle p} -elementowe F p , {\displaystyle \mathbb {F} _{p},} gdzie p {\displaystyle p} jest liczbą pierwszą. W pierwszym wypadku ciało ma charakterystykę 0, a w drugim – charakterystykę p {\displaystyle p} [7].
  • Każde ciało jest zanurzone w pewnym ciele algebraicznie domkniętym[8].

Teoria pierścieni

Teoria modułów

  • Niech P {\displaystyle P} będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Podzbiorem multiplikatywnie zamkniętym S {\displaystyle S} w P {\displaystyle P} jest zbiór zawierający 1 i zamknięty względem mnożenia[10]. Niech M {\displaystyle M} będzie modułem nad pierścieniem P . {\displaystyle P.} Na iloczynie kartezjańskim M × S {\displaystyle M\times S} można określić relację równoważności „ ≡ {\displaystyle \equiv } ”:
( m , s ) ≡ ( m 1 , s 1 ) {\displaystyle (m,s)\equiv (m^{1},s^{1})} ⇔ dla pewnego t ∈ S {\displaystyle t\in S} zachodzi równość t ( m s 1 − m 1 s ) = 0. {\displaystyle t(ms^{1}-m^{1}s)=0.}

Klasy równoważności tej relacji nazywa się ułamkami i oznacza się je m / s , {\displaystyle m/s,} a ich zbiór modułem ułamków S − 1 M . {\displaystyle S^{-1}M.} Podobnie można określić pierścień ułamków S − 1 P . {\displaystyle S^{-1}P.} Zbiór S − 1 M {\displaystyle S^{-1}M} jest modułem nad pierścieniem S − 1 P . {\displaystyle S^{-1}P.} Wtedy jeśli

f : N → M {\displaystyle f\colon N\to M} jest zanurzeniem modułu N {\displaystyle N} w moduł M , {\displaystyle M,}

to odwzorowanie

S − 1 f ( n / s ) = f ( n ) / s {\displaystyle S^{-1}f(n/s)=f(n)/s}

jest zanurzeniem S − 1 N {\displaystyle S^{-1}N} i S − 1 M {\displaystyle S^{-1}M} [11].

Przypisy

  1. ↑ Semadeni, Wiweger, op. cit., s. 280–283.
  2. ↑ Kuratowski, Mostowski, op. cit., s. 12–13.
  3. ↑ Janusz Kaja, O twierdzeniu Cantora-Bernsteina.
  4. ↑ Wstęp do teorii mnogości i topologii, op. cit., s. 228–241.
  5. ↑ Pontriagin, op. cit., s. 21–22.
  6. ↑ Browkin J.: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, s. 64, seria: Biblioteka Matematyczna.
  7. ↑ J. Browkin, op. cit., s. 65.
  8. ↑ Lang S.: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 189.
  9. ↑ Balcerzyk S., Józefiak T.: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985, s. 30. ISBN 83-01-04874-3.
  10. ↑ Zamkniętość S {\displaystyle S} względem mnożenia oznacza, że x y ∈ S , {\displaystyle xy\in S,} jeśli x , y ∈ S . {\displaystyle x,y\in S.}
  11. ↑ Атья М., Макдональд И.: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972, s. 52. (ros.).

Bibliografia

  • Z. Semadeni, A. Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.
  • Jiri Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker: Abstract and Concrete Categories. 2005-01-18. [dostęp 2011-08-26]. (ang.).
  • K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria mnogości. Wyd. 2. T. 27. Warszawa: PWN, 1966, seria: Monografie Matematyczne.
  • K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 2. T. 9. Warszawa: PWN, 1962, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • Л.С. Понтрягин: Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. Wyd. 2. Москва: Наука, 1976.
  • J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.
  • S. Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
  • S. Balcerzyk, T. Józefiak: Pierścienie przemienne. Wyd. 1. T. 58. Warszawa: PWN, 1985, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-04874-3.
  • М. Атья, И. Макдональд: Введеие в коммутативную алгебру. Москва: Мир, 1972. (ros.).