Dzielnik zera

Dzielnik zera – element ${\displaystyle a}$ pierścienia taki, dla którego istnieje niezerowy element ${\displaystyle b}$ spełniający ${\displaystyle ab=0}$^[1].

W nietrywialnym pierścieniu, czyli takim, w którym ${\displaystyle 1\neq 0,}$ dzielnikiem zera jest zero tego pierścienia; jeżeli istnieje dzielnik zera różny od zera, to nazywamy go właściwym dzielnikiem zera. Nietrywialny pierścień przemienny z jedynką, w którym brak właściwych dzielników zera, nazywamy dziedziną całkowitości^[2]. Dziedziną całkowitości jest np. pierścień liczb całkowitych, jak i każde ciało.

Własności

• Zbiór dzielników zera pierścienia ${\displaystyle A,}$ w którym istnieją właściwe dzielniki zera, jest sumą mnogościową ideałów pierwszych.

Dowód Niech ${\displaystyle a\in A}$ będzie dowolnym dzielnikiem właściwym. Zauważamy najpierw, że ideał główny ${\displaystyle (a)}$ generowany przez ${\displaystyle a}$ jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją inkluzji istnieje (na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna) ideał maksymalny ${\displaystyle {\mathcal {M}},}$ którego elementami są dzielniki zera, i zawierający ideał główny ${\displaystyle (a).}$ Ponieważ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ jest ideałem maksymalnym, jest także ideałem pierwszym (patrz własności).

• Dzielnik zera nie może być elementem odwracalnym.

Dowód: Gdyby dla elementu ${\displaystyle a}$ istniały elementy ${\displaystyle b\neq 0}$ i ${\displaystyle c}$ takie, że ${\displaystyle ab=0,}$ ${\displaystyle ac=ca=1,}$ to:

${\displaystyle b=1\cdot b=(ca)b=c(ab)=c\cdot 0=0}$

wbrew założeniu.

Przykłady

• W pierścieniu ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ właściwymi dzielnikami zera są ${\displaystyle 2}$ i ${\displaystyle 3,}$ bowiem ${\displaystyle 2\cdot 3=0;}$
• W pierścieniu liczb dualnych właściwym dzielnikiem zera jest ${\displaystyle (0,1),}$ bowiem ${\displaystyle (0,1)\cdot (0,1)=(0,0);}$
• W pierścieniu liczb podwójnych dzielnikami zera są ${\displaystyle (2,2)}$ i ${\displaystyle (3,-3),}$ bowiem ${\displaystyle (2,2)\cdot (3,-3)=(0,0);}$
• W pierścieniu macierzy kwadratowych stopnia 2 dzielnikiem zera jest np. macierz osobliwa ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}}$ ponieważ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Zobacz też

• dziedzina całkowitości
• element odwracalny
• pierścienie Z_n
• pierścień

Przypisy