Szereg Dirichleta

Szereg Dirichleta jest dowolnym szeregiem postaci

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

gdzie: ${\displaystyle s}$ należy do zbioru liczb zespolonych oraz ${\displaystyle a}$ jest ciągiem o wartościach zespolonych. Jest to szczególny przypadek ogólnego szeregu Dirichleta.

Szerg Dirichleta odgrywa ważną rolę w analitycznej teorii liczb. Najczęściej spotykana definicja funkcji dzeta Riemanna jest szeregiem Dirichleta, podobnie jak L-funkcje Dirichleta. Przypuszcza się, że klasa Selberga szeregu zachowuje się zgodnie z Uogólnioną Hipotezą Riemanna. Szereg jest nazwany ku czci Petera Gustava Lejeune’a Dirichleta.

Zastosowanie w kombinatoryce

Szereg Dirichleta może zostać wykorzystany jako funkcja tworząca do zliczania ważonych zbiorów obiektów z uwzględnieniem wag.

Załóżmy, że ${\displaystyle A}$ jest zbiorem z funkcją ${\displaystyle w\colon A\to \mathbf {N} }$ przypisującą wagę każdemu elementowi ${\displaystyle A,}$ załóżmy także, że włóknem nad każdą liczbą naturalną w tej wadze jest zbiór skończony. Nazwijmy taką parę ${\displaystyle (A,w)}$ zbiorem ważonym. Załóżmy dodatkowo, że ${\displaystyle a_{n}}$ jest liczbą elementów ${\displaystyle A}$ o wadze ${\displaystyle n.}$ Wówczas możemy zdefiniować formalny szereg Dirichleta będący funkcją tworzącą dla ${\displaystyle A,}$ z uwzględnieniem ${\displaystyle w,}$ w następujący sposób:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Zauważmy, że jeśli ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są rozłącznymi podzbiorami pewnego zbioru ważonego ${\displaystyle (U,w),}$ to szereg Dirichleta dla ich sumy mnogościowej jest równy sumie ich szeregów Dirichleta:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

Ponadto, jeśli ${\displaystyle (A,u)}$ i ${\displaystyle (B,v)}$ są dwoma zbiorami ważonymi i zdefiniujemy funkcję wagi ${\displaystyle w\colon A\times B\to \mathbf {N} }$ jako

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

dla każdego ${\displaystyle a}$ należącego do ${\displaystyle A}$ i dla każdego ${\displaystyle b}$ należącego do ${\displaystyle B,}$ otrzymamy następujący rozkład szeregu Dirichleta z iloczynu kartezjańskiego:

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

Wynika to bezpośrednio z faktu, że ${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G.H.; Riesz, Marcel (1915). The general theory of Dirichlet’s series. Cambridge Tracts in Mathematics Cambridge University Press.
• The general theory of Dirichlet’s series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Wznowienie} Cornell University Library Digital Collections
• Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). A catalogue of interesting Dirichlet series. Miss. J. Math.
• Mathar, Richard J. (2011). Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions. arXiv:1106.4038 math.NT.
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.

Linki zewnętrzne

• Dirichlet series na stronie PlanetMath.org.