Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego – równanie różniczkowe postaci:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+p(x)y+q(x)y^{n}=0,}$

gdzie ${\displaystyle p(x),q(x)\in C(a,b).}$ Dla ${\displaystyle n\in {0,1},}$ równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

Rozwiązanie równania

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez ${\displaystyle y^{n},}$ otrzymujemy wtedy:

${\displaystyle {\frac {1}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}+p(x)y^{1-n}+q(x)=0\,\,\,(*).}$

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną ${\displaystyle z=y^{1-n}.}$ Wówczas ${\displaystyle z'=(1-n)y^{-n}y'.}$ Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {1}{1-n}}{\frac {dz}{dx}}+p(x)z+q(x)=0,}$

które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:

${\displaystyle y'+{\frac {x}{1-x^{2}}}y-x^{2}y^{\frac {1}{2}}=0.}$

Podzielmy obie strony równania przez ${\displaystyle y^{\frac {1}{2}},}$ otrzymamy:

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {x}{1-x^{2}}}y^{\frac {1}{2}}-x^{2}=0.}$

Wprowadźmy zmienną ${\displaystyle z=y^{1-{\frac {1}{2}}}=y^{\frac {1}{2}},}$ zatem ${\displaystyle z'={\frac {1}{2y^{\frac {1}{2}}}}y'.}$ Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

${\displaystyle 2z'+{\frac {x}{1-x^{2}}}z-x^{2}=0.}$

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

Zobacz też

• równanie różniczkowe zwyczajne