Pierścień kołowy

Pierścień kołowy – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej ograniczony dwoma okręgami współśrodkowymi o różnych promieniach^[1].

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle S=(x_{0},y_{0})}$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny euklidesowej ${\displaystyle \Omega ,}$ zaś ${\displaystyle R}$ oraz ${\displaystyle r}$ odcinkami na niej leżącymi. Bez straty ogólności możemy założyć, że ${\displaystyle r<R}$^[1].

Pierścieniem kołowym nazywamy różnicę zbiorów dwóch kół o promieniach ${\displaystyle R}$ oraz ${\displaystyle r,}$ czyli podzbiór płaszczyzny opisywany układem równań

${\displaystyle {\begin{cases}(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\leqslant R^{2}\\(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\geqslant r^{2}\end{cases}}}$

lub równoważnie

${\displaystyle r\leqslant {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leqslant R.}$

Płaszczyzna zespolona

W analizie zespolonej pierścień kołowy ${\displaystyle P(a;r,R)}$ jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej:

${\displaystyle \{z\colon \;r<|z-a|<R\}.}$

Jeżeli ${\displaystyle r=0,}$ to obszar ten nazywany jest czasem kołem (dyskiem) bez punktu o promieniu ${\displaystyle R}$ wokół punktu ${\displaystyle a.}$

Jako podzbiór płaszczyzny zespolonej pierścień kołowy może być rozważany jako powierzchnia Riemanna. Struktura zespolona pierścienia zależy wyłącznie od współczynnika ${\displaystyle r/R.}$ Każdy pierścień kołowy ${\displaystyle P(a;r,R)}$ może być odwzorowany holomorficznie w wyśrodkowany pierścień o promieniu zewnętrznym równym ${\displaystyle 1}$ za pomocą przekształcenia

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.}$

Promień wewnętrzny jest wtedy związany relacją ${\displaystyle {\frac {r}{R}}<1.}$

Twierdzenie Hadamarda mówi o wartości maksymalnej jaką może przyjąć funkcja holomorficzna wewnątrz pierścienia kołowego.

Topologia

Otwarty pierścień kołowy jest topologicznie równoważny z otwartym walcem ${\displaystyle S^{1}\times (0,1)}$ i płaszczyzną bez punktu.

Pole

Pole pierścienia jest różnicą pól kół o promieniach ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle r{:}}$

${\displaystyle P=\pi (R^{2}-r^{2}).}$

Znając wartość obwodów pierścienia: zewnętrznego ${\displaystyle O}$ i wewnętrznego ${\displaystyle o{:}}$

${\displaystyle P={\frac {O^{2}-o^{2}}{4\pi }}.}$

Wynik ten może być otrzymany metodami analitycznymi przez podzielenie pierścienia na nieskończenie wiele pierścieni o nieskończenie małych szerokościach ${\displaystyle d\rho }$ i polach ${\displaystyle 2\pi \varrho \,d\varrho }$ (= długość okręgu razy szerokość) i całkowaniu od ${\displaystyle \varrho =r}$ do ${\displaystyle \varrho =R{:}}$

${\displaystyle P=\int \limits _{r}^{R}2\pi \varrho \,d\varrho =\pi (R^{2}-r^{2}).}$

Zobacz też

• rura cylindryczna – bryła obrotowa, której podstawą jest pierścień kołowy
• walec

Przypisy

Linki zewnętrzne

• definicja i własności pierścienia kołowego z animacją interaktywną,
• wzór na pole pierścienia z animacją interaktywną.