Sieczna

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: Sieczna – rzeka na Ukrainie.

Sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach^[1]. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

Dla danego punktu ${\displaystyle P}$ i okręgu ${\displaystyle o,}$ dla każdej siecznej przechodzącej przez ${\displaystyle P}$ i przecinającej ${\displaystyle o}$ w punktach ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ wartość wyrażenia ${\displaystyle |PA|\cdot |PB|}$ jest ta sama^[2]. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych^[2].

Dowód

Dla ${\displaystyle P}$ na zewnątrz okręgu

Poprowadźmy z punktu ${\displaystyle P}$ styczną i sieczną okręgu ${\displaystyle o.}$ Punkt styczności nazwijmy ${\displaystyle T,}$ a punkty przecięcia z sieczną ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B,}$ gdzie ${\displaystyle |PA|<|PB|.}$ Kąt ${\displaystyle PBT}$ jest kątem wpisanym opartym na cięciwie ${\displaystyle TA,}$ więc przystaje do kąta dopisanego ${\displaystyle ATP.}$ Trójkąty ${\displaystyle ATP}$ i ${\displaystyle TBP}$ mają wspólny kąt ${\displaystyle TPB,}$ a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że:

${\displaystyle {\frac {|PT|}{|PA|}}={\frac {|PB|}{|PT|}}.}$

Po wymnożeniu obustronnie przez ${\displaystyle |PA|\cdot |PT|}$ otrzymujemy

${\displaystyle |PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|.}$

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej ${\displaystyle |PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|,}$ a ${\displaystyle |PT|}$ jest stałe, to ${\displaystyle {|PA|}\cdot |PB|}$ też musi być stałe, co kończy dowód.

Dla ${\displaystyle P}$ wewnątrz okręgu

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

${\displaystyle {\frac {|AP|}{|PD|}}={\frac {|CP|}{|PB|}}}$

${\displaystyle |AP|\cdot |PB|=|DP|\cdot |PC|}$

co było do udowodnienia.

Zobacz też

• metoda siecznych
• normalna
• styczna

Przypisy