積分判定法の調和級数 への適用。区間 x ∈ [1, ∞) y = 1/x 下記テーマに関する記事の一部 解析学 収束判定法（英語版） 項の極限（項判定法）（英語版） 比 冪根 積分 比較 極限比較（英語版） 交代級数（英語版） 凝集 ディリクレ アーベル（英語版）
数学 において、積分判定法 （せきぶんはんていほう、英 : integral test for convergence ）は非負項無限級数 の収束性 を判定する方法の一つである。コリン・マクローリン とオーギュスタン＝ルイ・コーシー によって発展させられたことから、マクローリン・コーシーの判定法 の呼称でも知られている。
判定方法 整数 N [N , ∞) で定義された単調非増加 な実数値関数 f
∑ n = N ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)} がある実数 へ収束するための必要十分条件は、広義積分
∫ N ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx} が有限値であることである。言い換えると、積分が発散するとき級数もまた発散する。
注意 広義積分が有限値のとき、次節の証明からは級数の収束値の上界・下界 をも得ることができる。
∫ N ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = N ∞ f ( n ) ≤ f ( N ) + ∫ N ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}
(1 )
証明 証明は基本的に比較判定法 を用いる。区間[n − 1, n ) と [n , n + 1) のそれぞれで、f f (n )
f
f ( x ) ≤ f ( n ) for all x ∈ [ n , ∞ ) {\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )} であり、また
f ( n ) ≤ f ( x ) for all x ∈ [ N , n ] {\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n]} である。よって任意の整数 n ≥ N
∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ ∫ n n + 1 f ( n ) d x = f ( n ) {\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}
(2 )
であり、任意の整数 n ≥ N + 1
f ( n ) = ∫ n − 1 n f ( n ) d x ≤ ∫ n − 1 n f ( x ) d x {\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx}
(3 )
である。
N M n 2
∫ N M + 1 f ( x ) d x = ∑ n = N M ∫ n n + 1 f ( x ) d x ⏟ ≤ f ( n ) ≤ ∑ n = N M f ( n ) {\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)} が得られ、(3
∑ n = N M f ( n ) ≤ f ( N ) + ∑ n = N + 1 M ∫ n − 1 n f ( x ) d x ⏟ ≥ f ( n ) = f ( N ) + ∫ N M f ( x ) d x {\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx} が得られる。これら2つの評価式を合わせると
∫ N M + 1 f ( x ) d x ≤ ∑ n = N M f ( n ) ≤ f ( N ) + ∫ N M f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx} M 1
適用例 調和級数
∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} は発散する。なぜなら、自然対数 とその不定積分 、微分積分学の基本定理 を用いることで
∫ 1 M 1 x d x = ln x | 1 M = ln M → ∞ for M → ∞ {\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty } であることが分かるからである。
これとは反対に、級数
ζ ( 1 + ε ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ε {\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}} （リーマンゼータ関数 を参照） は任意の ε > 0
∫ 1 M 1 x 1 + ε d x = − 1 ε x ε | 1 M = 1 ε ( 1 − 1 M ε ) ≤ 1 ε < ∞ for all M ≥ 1 {\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1} であり、(1
ζ ( 1 + ε ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ε ≤ 1 + ε ε {\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }}} と評価できるからである。この結果はリーマンゼータ関数のいくつかの特定の値と比較してみることができる。
発散と収束の境界線 調和級数に関する上記の例から、単調減少列 f (n )
lim n → ∞ f ( n ) 1 / n = 0 and lim n → ∞ f ( n ) 1 / n 1 + ε = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty } という意味で
1/n よりも速く 0 に収束するが、任意の ε > 01/n 1+ε よりは遅く 0 に収束し、 対応する級数はなおも発散する ようなものは存在するかという問題が持ち上がる。もしそのような級数が見つかれば、1/n を f (n )
具体的には、全ての自然数 k
∑ n = N k ∞ 1 n ln ( n ) ln 2 ( n ) ⋯ ln k − 1 ( n ) ln k ( n ) {\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}
(4 )
は発散する[1]
∑ n = N k ∞ 1 n ln ( n ) ln 2 ( n ) ⋯ ln k − 1 ( n ) ( ln k ( n ) ) 1 + ε {\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}
(5 )
は全ての ε > 0lnk は自然対数の k 合成 を表し、再帰的に
ln k ( x ) = { ln ( x ) for k = 1 , ln ( ln k − 1 ( x ) ) for k ≥ 2. {\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}} と定義される。また N k lnk N k の左辺が well-defined で、かつこの不等式を満たす、つまり
N k ≥ e e ⋅ ⋅ e ⏟ k e ′ s = e ↑↑ k {\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k} となる最小の自然数を表す。ここで矢印記法はテトレーション である（クヌースの矢印表記 の一種）。
級数 (4 連鎖律 を繰り返し適用して、
d d x ln k + 1 ( x ) = d d x ln ( ln k ( x ) ) = 1 ln k ( x ) d d x ln k ( x ) = ⋯ = 1 x ln ( x ) ⋯ ln k ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}} だから
∫ N k ∞ d x x ln ( x ) ⋯ ln k ( x ) = ln k + 1 ( x ) | N k ∞ = ∞ . {\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .} となり、積分判定法を用いれば発散することが分かる。
級数 (5
− d d x 1 ε ( ln k ( x ) ) ε = 1 ( ln k ( x ) ) 1 + ε d d x ln k ( x ) = ⋯ = 1 x ln ( x ) ⋯ ln k − 1 ( x ) ( ln k ( x ) ) 1 + ε {\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}} だから
∫ N k ∞ d x x ln ( x ) ⋯ ln k − 1 ( x ) ( ln k ( x ) ) 1 + ε = − 1 ε ( ln k ( x ) ) ε | N k ∞ < ∞ {\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty } となり、(1 5
有限和の場合 有限和の場合にも同様の議論で和を積分で近似することができる。つまり、自然数 M<N [M ,N ] で定義された単調(単調増加でもよい)なRiemann可積分関数 f
min { f ( M ) , f ( N ) } ≤ ∑ n = M N f ( n ) − ∫ M N f ( x ) d x ≤ max { f ( M ) , f ( N ) } {\displaystyle \min\{f(M),f(N)\}\leq \sum _{n=M}^{N}f(n)-\int _{M}^{N}f(x)dx\leq \max\{f(M),f(N)\}} が成立する。
関連項目 注記 ^ k = 1素数の逆数和の発散（英語版） を参照。 参考文献 Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover Publications , Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6 Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3 この項目は、解析学 に関連した書きかけの項目 です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。
![{\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf22fdb90a5e0fd91c9e0215c7cd86075e1d08e)
