Tableau triangulaire

En mathématiques et en informatique, un tableau triangulaire de nombres, ou de polynômes est une suite doublement indexée dans laquelle chaque ligne a une longueur proportionnelle à son ordre.

Présentation

Présentation matricielle

Dans de nombreux cas, il s'agit d'une suite ${\displaystyle (T_{n,k})}$ définie pour les entiers ${\displaystyle n,k}$ vérifiant ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$.

La ligne d'indice n (d'ordre ${\displaystyle n+1}$) est alors le ${\displaystyle n+1}$-uplet ${\displaystyle (T_{n,0},...,T_{n,n})}$, et la colonne d'indice k (d'ordre ${\displaystyle k+1}$) est la suite ${\displaystyle (T_{n,k})_{n\geqslant 0}}$.

k n	0	1	2
0	${\displaystyle T_{0,0}}$
1	${\displaystyle T_{1,0}}$	${\displaystyle T_{1,1}}$
2	etc.

La suite ${\displaystyle (T_{n,k})}$ peut plus généralement être définie pour d'autres valeurs de ${\displaystyle k}$ que celles vérifiant ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant n}$, voir par exemple le triangle trinomial.

Présentation pyramidale

Les lignes sont présentées de façon symétrique par rapport à leur centre, comme par exemple ci-dessous :

• 
  Triangle de Pascal
• 
  Triangle de Delannoy
• 
  Triangle trinomial

Les "colonnes" sont alors parallèles au côté gauche.

Exemples

Parmi les exemples notables, on peut citer :

• Le triangle de Bell, dont les termes dénombrent certaines partitions d'un ensemble^[1].
• Le triangle de Bernoulli, donnant les sommes partielles des lignes du triangle de Pascal.
• Le triangle du boustrophédon permettant d'obtenir les développements de fonctions tangente et sécante.
• Le triangle de Catalan^[2].
• le triangle de Delannoy.
• Le triangle des dérangements partiels.
• Le triangle d'Euler, dont les termes dénombrent les permutations avec un certain nombre de montées^[3].
• Le triangle fibonomial.
• Le triangle de Floyd (en), dont les entrées sont les entiers dans l'ordre^[4].
• Le triangle d'Hosoya (en), basé sur les nombres de Fibonacci^[5].
• Le triangle harmonique de Leibniz.
• Le triangle de Lozanić (en), utilisé dans les mathématiques des composés chimiques^[6].
• Le triangle de Narayana^[7].
• Le triangle du nombre de partitions d'un entier en k parties
• Le triangle de Pascal, dont les entrées sont les coefficients binomiaux^[8].
• Le triangle de Pascal (2,1).
• Le q-analogue du triangle de Pascal.
• Le triangle de Rascal
• Le triangle trinomial (où la longueur de chaque ligne est le double de son ordre moins 1)
• Les triangles des nombres de Stirling (de première et deuxième espèce).

Généralisations

Les tableaux triangulaires peuvent énumérer des objets mathématiques autres que des nombres ; par exemple, les polynômes de Bell forment un tableau triangulaire dans lequel chaque entrée est un polynôme^[9].

Une suite triplement indexée peut être représentée en tétraèdre, comme par exemple le tétraèdre de Pascal, et une suite à d indices, représentée par un d-simplexe.

Applications

Outre la représentation des matrices triangulaires, les tableaux triangulaires sont utilisés dans plusieurs algorithmes. Un exemple est l'algorithme CYK pour l'analyse de grammaires non-contextuelles, un exemple de programmation dynamique^[10].

La méthode de Romberg peut être utilisée pour estimer la valeur d'une intégrale définie en remplissant les valeurs dans un triangle de nombres^[11].

La transformation du Boustrophédon utilise un tableau triangulaire pour transformer une suite d'entiers en une autre^[12].

Articles connexes

• Nombre triangulaire

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular array » (voir la liste des auteurs).

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