Un nombre pentachorique centré ou nombre 4-hypertétraédrique centré est un nombre figuré comptant des points disposés dans un pentachore par couches successives autour du centre.
La formule générale est P C n = 5 n 4 − 10 n 3 + 55 n 2 − 50 n + 24 24 = ( n + 5 5 ) − ( n 5 ) {\displaystyle PC_{n}={\frac {5n^{4}-10n^{3}+55n^{2}-50n+24}{24}}={\binom {n+5}{5}}-{\binom {n}{5}}} [ 1]
Les premiers de ces nombres sont : 1, 6, 21, 56, 126, 251, 456, 771, 1231, 1876, 2751, 3906, 5396, 7281, ... (suite A008498 de l'OEIS ).
Obtention de la formule En utilisant la formule P C n − P C n − 1 = ( S − 1 ) + A ( n − 2 ) + F ( P k , n − k ( n − 1 ) ) + C Q n {\displaystyle PC_{n}-PC_{n-1}=(S-1)+A(n-2)+F(P_{k,n}-k(n-1))+CQ_{n}} nombres 4-polytopiques centrés , on a ici : S = 5 , A = 10 , F = 10 , C = 5 {\displaystyle S=5,A=10,F=10,C=5} k = 3 {\displaystyle k=3} P 3 , n = n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle P_{3,n}=n(n+1)/2} Q n = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) / 6 − 4 − 6 ( n − 2 ) − 4 ( n ( n + 1 ) / 2 − 3 ( n − 1 ) ) {\displaystyle Q_{n}=n(n+1)(n+2)/6-4-6(n-2)-4(n(n+1)/2-3(n-1))}
On obtient P C n − P C n − 1 = 5 ( n − 1 ) ( ( n − 1 ) 2 + 5 ) {\displaystyle PC_{n}-PC_{n-1}=5(n-1)((n-1)^{2}+5)} P C n = 5 n 4 − 10 n 3 + 55 n 2 − 50 n + 24 24 {\displaystyle PC_{n}={\frac {5n^{4}-10n^{3}+55n^{2}-50n+24}{24}}}
Notes et références ↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers , Singapour, World Scientific Publishing, 2012 , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3 , lire en ligne) , p. 224 Voir aussi Bidimensionnel Tridimensionnel Quadridimensionnel
Arithmétique et théorie des nombres 
Arithmétique et théorie des nombres 
