Teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació que la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses.^[1] Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antics matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions d'Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Una conseqüència directa d'aquest teorema és la regla de Barrow,^[2] sovint denominada segon teorema del càlcul, i que permet calcular la integral d'una funció utilitzant la integral indefinida de la funció en ser integrada.

Història

El teorema fonamental del càlcul relaciona la diferenciació i la integració, mostrant que les dues operacions són essencialment l'inversa l'una de l'altra. Abans del descobriment d'aquest teorema, no es reconeixia que aquestes dues operacions estaven relacionades. Els matemàtics grecs antics sabien com calcular l'àrea a partir d'infinitesimals, una operació que avui en dia anomenaríem integració. De manera similar, els orígens de la diferenciació són diversos segles anteriors al teorema fonamental del càlcul; per exemple, en el segle XIV les nocions de continuïtat de funcions i de moviment van ser estudiades pels calculadors de Merton College i altres acadèmics. La rellevància històrica del teorema fonamental del càlcul no és l'habilitat de calcular aquestes operacions, sinó la presa de consciència que aquestes dues operacions que semblen diferents (càlcul d'àrees geomètriques i càlcul de gradients) estan de fet estretament relacionades.

El càlcul es va iniciar com a teoria unificada d'integració i diferenciació a partir de la conjectura i la demostració del teorma fonamental del càlcul. El primer enunciat i demostració d'una versió rudimentària del teorema fonamental, de caràcter marcadament geomètric,^[3] s'atribueix a James Gregory (1638–1675).^[4][5] Isaac Barrow (1630–1677) va demostrar una versió més generalitzada del teorema,^[6] mentre que el seu alumne Isaac Newton (1642–1727) va completar el desenvolupament de la teoria matemàtica en què s'emmarca. Gottfried Leibniz (1646–1716) va sistematitzar el coneixement en el càlcul de quantitats infinitesimals i va introduir la notació que s'utilitza avui en dia.

Els teoremes fonamentals del càlcul integral

Primer teorema fonamental

Declaració

Donada una funció ${\displaystyle \,f}$ integrable sobre l'interval ${\displaystyle \,[a,b]}$, definim ${\displaystyle \,F}$ sobre ${\displaystyle \,[a,b]}$ per ${\displaystyle F(x)={\int _{\alpha }^{x}f(t)dt}}$ amb ${\displaystyle \alpha \in [a,b]}$ fix. El teorema diu que si ${\displaystyle \,f}$ és contínua a ${\displaystyle c\in (a,b)}$, llavors ${\displaystyle \,F}$ és derivable a ${\displaystyle \,c}$ i ${\displaystyle \,F'(c)=f(c)}$.[7]

Demostració

Lema important:

Suposem que ${\displaystyle f}$ és integrable sobre ${\displaystyle [a,b]}$ i que:

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\ \forall x\in [a,b]}$

Llavors

${\displaystyle m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)}$

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui ${\displaystyle c\in (a,b)}$.

Sigui ${\displaystyle f}$ una funció integrable sobre l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ i contínua a c.

Sigui ${\displaystyle F}$ una funció sobre ${\displaystyle [a,b]}$ definida així: ${\displaystyle F(x)=\int _{\alpha }^{x}f(t)dt}$ amb ${\displaystyle \alpha \in [a,b]}$

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tenim: ${\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}}$.

Suposem que h>0, llavors ${\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}}$.

Definim ${\displaystyle m_{h}}$ i ${\displaystyle M_{h}}$ com:

${\displaystyle m_{h}=\inf\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}$,

${\displaystyle M_{h}=\sup\{f(x)|c\leq x\leq c+h\}}$

Aplicant el lema veiem que:

${\displaystyle m_{h}\cdot h\leq {\int _{c}^{c+h}f(t)dt}\leq M_{h}\cdot h}$.

Aleshores,

${\displaystyle m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}}$

Ara suposem que ${\displaystyle h<0}$, siguin:

${\displaystyle {m^{*}}_{h}=\inf\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}}$,

${\displaystyle {M^{*}}_{h}=\sup\{f(x)|c+h\leq x\leq c\}}$.

Aplicant el lema veiem que:

${\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{*}}_{h}\cdot (-h)}$.

Com:

${\displaystyle F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}=-{\int _{c+h}^{c}f(t)dt}}$,

Llavors:

${\displaystyle {m^{*}}_{h}\cdot h\geq F(c+h)-F(c)\geq {M^{*}}_{h}\cdot h}$.

Donat que ${\displaystyle h<0}$, llavors tenim que:

${\displaystyle {m^{*}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{*}}_{h}}$.

I com ${\displaystyle f}$ és contínua a c tenim que:

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{*}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{*}}_{h}=f(c)}$,

i això porta a:

${\displaystyle F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}=f(c)}$.

Exemples

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\Rightarrow F'(x)=x^{2}}$

${\displaystyle H(x)=\int _{10}^{\exp {3x}}\sin(t)dt\Rightarrow H'(x)=\sin(e^{3x})e^{3x}3}$

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\arcsin(t)dt\Rightarrow G'(x)=\arcsin(x^{2})2x}$

Segon teorema fonamental

Declaració

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor d'Isaac Barrow.

Donada una funció ${\displaystyle \,f}$ contínua a l'interval ${\displaystyle \,[a,b]}$ i sigui ${\displaystyle \,g(x)}$ qualsevol funció primitiva de ${\displaystyle \,f}$, és a dir ${\displaystyle \,g'(x)=f(x)}$, llavors: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=g(b)-g(a)}$

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

Demostració

Hipòtesi:

Sigui ${\displaystyle f}$ una funció contínua a l'interval ${\displaystyle [a,b]}$

Sigui ${\displaystyle g}$ una funció diferenciable en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ tal que ${\displaystyle g'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]}$

Tesi:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=g(b)-g(a)}$

Demostració:

Sigui

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$.

Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:

${\displaystyle F'(x)=f(x)=g'(x){\ }\forall x\in [a,b]}$.

Per tant:

${\displaystyle \exists c\in \mathbb {R} {\ }}$ tal que ${\displaystyle \forall x\in [a,b],F(x)=g(x)+c}$.

Observem que:

${\displaystyle 0=F(a)=g(a)+c}$

I d'aqui se segueix que ${\displaystyle c=-g(a)}$; per tant:

${\displaystyle F(x)=g(x)-g(a)}$.

I en particular si ${\displaystyle x=b}$ tenim que:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)=g(b)-g(a)}$

Exemples

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(x)dx=\sin(\pi )-\sin(0)=0}$

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=\ln(e)-\ln(1)=1}$

Exemples

Càlcul d'una integral en particular

Suposi's que s'ha de càlcular la integral següent:

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$

Aquí, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ i es pot usar ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}}$ com a antiderivada. Per tant:

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$

Utilitzant la primera part

Suposi's que s'ha de calcular

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt.}$

Utilitzant la primera part del teorema amb ${\displaystyle f(t)=t^{3}}$ s'obté

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x)=x^{3}.}$

Això es pot comprovar també utilitzant la segona part del teorema. En particular, ${\displaystyle F(t)={\frac {1}{4}}t^{4}}$ és l'antiderivada de ${\displaystyle f(t)}$, i per tant

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$

Una integral per la qual corol·lari no és suficient

Suposi's que

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-{\frac {1}{x}}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\\\end{cases}}}$

Llavors ${\displaystyle f(x)}$ no és contínua en el zero. A més, això no és només una qüestió de com es defineix ${\displaystyle f}$ en el zero, ja que el límit ${\displaystyle x\to 0}$ de ${\displaystyle f(x)}$ no existeix. Per tant, el corol·lari no es pot utilitzar per calcular

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx.}$

Però consideri's la funció

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0.\\\end{cases}}}$

Noti's que ${\displaystyle F(x)}$ és contínua en l'interval ${\displaystyle [0,1]}$ (inclòs en el zero, mitjançant el teorema del sandvitx), i ${\displaystyle F(x)}$ és diferenciable en ${\displaystyle (0,1)}$ amb ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$ Per tant, la segona part del teorema aplica, i

${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0)=\sin(1).}$

Exemple teòric

Es pot utilitzar el teorema per demostrar que

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.}$

Com que

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ i }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}}$

el resultat és una conseqüència de

${\displaystyle F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).}$

Generalitzations

La funció f no ha de ser contínua en tot l'interval. La Part I del teorema llavors es pot reescriure: sigui f una funció Lebesgue-integrable en l'interval ${\displaystyle [a,b]}$ i x₀ és un nombre en ${\displaystyle [a,b]}$ tal que f és contínua a x₀, llavors

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

és diferenciable per x = x₀ amb F′(x₀) = f(x₀). Es pot relaxar les condicions en f encara més i suposar que és integrable merament de forma local. En aquest cas, es pot concloure que la funció F és diferenciable gairebé pertot i F′(x) = f(x) gairebé pertot. En la recta real aquesta afirmació és equivalent al teorema de diferenciació de Lebesgue. Aquests resultats segueixen sent vàlids per a la integral de Henstock-Kurzwe, que inclou la integral d'una classe més gran de funcions integrables.^[8]

En dimensions superiors, el teorema de diferenciació de Lebesgue generalitza el teorema fonamental del càlcul afirmant que per gairebé totes les x, el valor promig d'una funció f en una bola de radi r centrada a x tendeix a f(x) a mesura r tendeix a 0.

La Part II del teorema és vàlida per tota funció integrable de Lebesgue f, que té una antiderivada F (tot i que això no aplica a totes les funcions integrables). En altres paraules, si una funció real F en ${\displaystyle [a,b]}$ admet una derivada f(x) pertot punt x de ${\displaystyle [a,b]}$ i si aquesta derivada f és integrable segons Lebesgue en ${\displaystyle [a,b]}$, llavors^[9]

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$

Aquest resultat pot no ser vàlid per funcions contínues F que admeten una derivada f(x) gairebé pertot x, com l'exemple de la funció de Cantor mostra. Tanmateix, si F és absolutament contínua, admet una derivada F′(x) gairebé pertot x, i a més F′ és integrable, amb F(b) − F(a) igual a la integral de F′ en ${\displaystyle [a,b]}$. En canvi, si f és una funció integrable qualsevol, llavors F definida com en la primera fórmula serà absolutament contínua amb F′ = f gairebé pertot.

Les condicions d'aquest teorema es poden relaxar d'una altra manera considerant les integrals que hi surten com integrals de Henstock-Kurzwe. En particular, si una funció contínua F(x) admet una derivada f(x) pertot menys per un nombre numerable de punts, llavors f(x) és integrable en el sentit de Henstock–Kurzweil i F(b) − F(a) és igual a l'integral de f en Plantilla:Closed-closed. La diferència aquí és que no cal assumir la integrabilitat de f.^[10]

La versió del teorema de Taylor, que expressa el terme error com una integral, es pot veure com una generalització del teorema fonamental.

Hi ha una versió del teorema per funcions complexes: suposi's que U és un conjunt obert en C i f : U → C és una funció que té una antiderivada holomorfa F en U. Llavors, per tota corba γ : [a, b] → U, la integral de camí es pot entendre com

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$

Es pot generalitzar el teorema fonamental a integrals corbes i de superfície en dimensions superiors i en varietats. Una d'aquestes generalitzacions l'ofereix el càlcul de superfícies en moviment i és l'evolució temporal de les integrals. Les extensions més familiars del teorema general del càlcul en dimensions superiors són el teorema de la divergència i el teorema del gradient.

Una de les generalitzacions més útils en aquesta direcció és el teorema de Stokes generalitzat (també conegut, de vegades, com el teorema fonamental del càlcul multivariable):^[11] Sigui M una Varietat suau smooth a trossos de dimensió n i sigui ${\displaystyle \omega }$ una (n − 1)-form suau de suport compacte en M. Si ∂M denota la frontera de M donada la seva Orientabilitat induïda, llavors

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Aquí d és la derivada exterior, que es defineix únicament per mitjà de l'estructura de la varietat.

El teorema s'utilitza sovint en situacions en què M és una subvarietat orientada incrustada en una varietat més gran (per exemple, R^k) en què es defineix la forma diferencial ${\displaystyle \omega }$.

El teorema fonamental del càlcul permet escriure una integral definida com a equació diferencial ordinària de primer ordre.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

es pot escriure com

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$

amb ${\displaystyle y(b)}$ com el valor de la integral.

Bibliografia

• Perelló, Carles. Càlcul infinitesimal. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, 1994. ISBN 84-7739-518-7. 

Vegeu també

• Regla de Barrow
• Integració
• Regla de Leibniz
• Integral de Riemann

Referències

Bibliografia

• Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. 2nd. Nova York: John Wiley & Sons, 1967. ISBN 978-0-471-00005-1. .