Suavitat d'una funció

En l'anàlisi matemàtica, la suavitat d'una funció és una propietat mesurada pel nombre de derivades contínues que té sobre algun domini, anomenada classe de derivabilitat.^[1] Com a mínim, una funció es podria considerar suau si és diferenciable a tot arreu (per tant, contínua).^[2] A l'altre extrem, també podria tenir derivats de tots els ordres del seu domini, en aquest cas es diu que és infinitament derivable i es coneix com a funció C-infinit (o ${\displaystyle C^{\infty }}$ funció).^[3]

Classes de diferenciabilitat

La classe de diferenciabilitat és una classificació de funcions segons les propietats de les seves derivades. És una mesura de l'ordre de derivada més alt que existeix i és contínua per a una funció.

Cal Pensar en un conjunt obert ${\displaystyle U}$ sobre la línia real i una funció ${\displaystyle f}$ definit a ${\displaystyle U}$ amb valors reals. Sigui k un nombre enter no negatiu. La funció ${\displaystyle f}$ es diu que és de classe de diferenciabilitat ${\displaystyle C^{k}}$ si els derivats ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$ existeixen i són continus ${\displaystyle U}$. Si ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle k}$ - diferenciable en ${\displaystyle U}$, llavors és almenys a la classe ${\displaystyle C^{k-1}}$ des que ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$ són contínues ${\displaystyle U}$. La funció ${\displaystyle f}$ es diu que és infinitament diferenciable, suau o de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, si té derivats de totes les ordres ${\displaystyle U}$. (Per tant, totes aquestes derivades són funcions contínues ${\displaystyle U}$).^[4] La funció ${\displaystyle f}$ es diu que és de classe ${\displaystyle C^{\omega }}$, o analític, si ${\displaystyle f}$ és suau (és a dir, ${\displaystyle f}$ està a la classe ${\displaystyle C^{\infty }}$) i la seva expansió en sèrie de Taylor al voltant de qualsevol punt del seu domini convergeix a la funció d'algun veïnatge del punt. ${\displaystyle C^{\omega }}$ està, per tant, estrictament contingut ${\displaystyle C^{\infty }}$. Les funcions test són exemples de funcions a ${\displaystyle C^{\infty }}$ però no dins ${\displaystyle C^{\omega }}$.^[5]

Per dir-ho d'una altra manera, la classe ${\displaystyle C^{0}}$ consta de totes les funcions contínues. La classe ${\displaystyle C^{1}}$ consta de totes les funcions diferenciables la derivada de les quals és contínua; aquestes funcions s'anomenen derivables contínuament. Així, a ${\displaystyle C^{1}}$ La funció és exactament una funció la derivada de la qual existeix i és de classe ${\displaystyle C^{0}}$. En general, les classes ${\displaystyle C^{k}}$ es pot definir recursivament declarant ${\displaystyle C^{0}}$ per ser el conjunt de totes les funcions contínues, i declarant ${\displaystyle C^{k}}$ per a qualsevol nombre enter positiu ${\displaystyle k}$ per ser el conjunt de totes les funcions derivables la derivada de les quals està en ${\displaystyle C^{k-1}}$. En particular, ${\displaystyle C^{k}}$ està continguda a ${\displaystyle C^{k-1}}$ per cada ${\displaystyle k>0}$, i hi ha exemples per demostrar que aquesta contenció és estricta (${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$). La classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ de funcions infinitament diferenciables, és la intersecció de les classes ${\displaystyle C^{k}}$ com ${\displaystyle k}$ varia sobre els nombres enters no negatius.^[6]

Referències