Định lý Green

Trong toán học, định lý Green đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C và tích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý

C là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng R {\displaystyle \mathbb {R} } 2, và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu L và M là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì[1][2]

∮ C ( L d x + M d y ) = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d x d y . {\displaystyle \oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}

Mối liên hệ với định lý Stokes

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi F = ( L , M , 0 ) {\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)} . Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

∮ C ( L d x + M d y ) = ∮ C ( L , M , 0 ) ⋅ ( d x , d y , d z ) = ∮ C F ⋅ d r . {\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}

Theo định lý Stokes thì:

∮ C F ⋅ d r = ∬ S ∇ × F ⋅ n ^ d S . {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}

Mặt S {\displaystyle S} chỉ là một miền D {\displaystyle D} trong mặt phẳng, với vector định chuẩn n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

∇ × F ⋅ n ^ = [ ( ∂ 0 ∂ y − ∂ M ∂ z ) i + ( ∂ L ∂ z − ∂ 0 ∂ x ) j + ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) k ] ⋅ k = ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

∬ S ∇ × F ⋅ n ^ d S = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A . {\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}

Mối liên quan với định lý Gauss

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A = ∮ C F ⋅ n ^ d s , {\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}

với n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green d r = ( d x , d y ) {\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)} là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là ( d y , − d x ) {\displaystyle (dy,-dx)} . Chiều dài của vec tơ này là d x 2 + d y 2 = d s {\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds} . Do vậy n ^ d s = ( d y , − d x ) . {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,ds=(dy,-dx).}

Bây giờ hãy để F = ( P , Q ) {\displaystyle \mathbf {F} =(P,Q)} . Khi đó vế phải sẽ trở thành

∮ C F ⋅ n ^ d s = ∮ C P d y − Q d x {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\oint _{C}Pdy-Qdx}

mà do định lý Green sẽ trở thành

∮ C − Q d x + P d y = ∬ D ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y ) d A = ∬ D ( ∇ ⋅ F ) d A . {\displaystyle \oint _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA.}

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường.[3] Diện tích của miền D được cho bởi:

A = ∬ D d A . {\displaystyle A=\iint _{D}\mathrm {d} A.}

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y = 1. {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.}

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

A = ∮ C ( L d x + M d y ) . {\displaystyle A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y).}

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:[3]

A = ∮ C x d y = − ∮ C y d x = 1 2 ∮ C ( − y d x + x d y ) . {\displaystyle A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y).}

Đây là cùng công thức cho tính diện tích cho những hình nằm trên mặt phẳng xy bằng toán vectơ:

A = 1/2 ∮ r x dr = 1/2 k ∮(xdy – ydx)

khi r = xi + yj và dr = dxi + dyj.

Xem thêm

  • Planimeter
  • Method of image charges – A method used in electrostatics that takes advantage of the uniqueness theorem (derived from Green's theorem)

Tham khảo

  1. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  3. ^ a b Stewart, James (2007). Calculus (ấn bản 6). Thomson, Brooks/Cole.

Đọc thêm

  • Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
  • Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

Liên kết ngoài

  • Green's Theorem on MathWorld