Просторами
в математиці називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня
(де
) є інтегровними за Лебегом.
— найважливіший клас банахових просторів. Окрім того,
— класичний приклад гільбертового простору.
Побудова простору Lp
Визначення 1. Нехай задано простір з мірою
. Зафіксуємо
і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що
![{\displaystyle \int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a82080fe1375f06a47c7e05f3a0240928f2b483)
Позначимо цю множину
або просто
.
Теорема 1.
є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.
На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b367d4ba0a1e7c6100371208c48c36371c3ab9)
Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.
Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо
майже всюди, то
, що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.
Визначення 2. Введемо на
відношення еквівалентності:
, якщо
майже всюди.
Це відношення розбиває простір
на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.
Тоді на побудованому фактор-просторі (тобто множині класів еквівалентності)
можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.
Визначення 3. Фактор-простір
з побудованою на ньому нормою називається простором
або просто
.
При
,
не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при
), проте утворюють метричні простори.
Повнота простору Lp
Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику
![{\displaystyle d(f,\;g)=\|f-g\|_{p},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e187b93e5b4e630dd8031c056090936f2f22af23)
а отже і поняття збіжності.
Визначення 3. Нехай є послідовність функцій
. Тоді ця послідовність збігається до функції
, якщо
при ![{\displaystyle n\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a34a9f62668de90200a6cbde865c27af2cdbb7)
Теорема 2. Простір
є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність
збігається до елементу цього ж простору. Таким чином,
— банахів простір.
Простір L2
У випадку
введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проєкція і ін.
Визначення 4. Введемо на просторі
скалярний добуток таким чином:
![{\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\mu (dx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f373294bc805949d6064e53da3ddc9155bc8c7e0)
у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або
![{\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\mu (dx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd726d22a22212742356d5245e5be0199ab6b41)
якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:
![{\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a73266ccd89e4e48b8cd5cbf06be7b8923f035)
тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого
, одержуємо:
Теорема 3. Простір
— гільбертів.
Простір L∞
Розглянемо простір
вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням
![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c15e8e42d35d4bd450bc0cfcfa1752334d97fa2)
одержуємо банахів простір.
Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:
у
, якщо
при
.
Властивості просторів Lp
- Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі
. Нехай
при
і
при
,
. Тоді
майже всюди. Але
. Зворотне твердження також невірне. - Якщо
при
, то існує підпослідовність
, така що
майже всюди.
функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай
— підмножина
, що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді
всюди щільна в
.
— сепарабельний простір. - Якщо
— скінченна міра, наприклад, ймовірність, і
, то
. Зокрема
, тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.
Простори спряжені Lp
Нехай
є простором спряженим до
(так званий копростір). За визначенням, елемент
є лінійним функціоналом на
.
Теорема 4. Якщо
, то
ізоморфний
(пишемо
), де
. Будь-який лінійний функціонал на
має вигляд:
![{\displaystyle g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3187217c53df60c2cd55cfa8990d5a36530ab8)
де
.
Через симетрію рівняння
сам простір
є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до
, а отже:
![{\displaystyle \left(L^{p}\right)^{\star \star }\cong L^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfb5dca64626adae9ae73eb5755442437f7b3b8)
Цей результат справедливий і для випадку
, тобто
. Проте
і, зокрема
.
Простори lp, 1 ≤ p ≤ ∞
Нехай
, де
— зліченна міра на
, тобто
. Тоді якщо
, то й простір
є множиною послідовностей
, таких що
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9d8117e242a911c5037cc9a764fa7e118f72f5)
Відповідно, норма на цьому просторі задається
![{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7e9938b3b0be1f42544c47bb020eed0a63e6bb)
Одержаний нормований простір позначається
.
Якщо
, то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc9727a7d7f5cb02d50884277bf0f8b6948c45e)
Одержаний нормований простір позначається
. Він є прикладом несепарабельного простору.
Як і в загальному випадку, поклавши
, ми одержуємо гільбертів простір
, норма якого породжена скалярним добутком
![{\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa043e49c047983fe1b44e3c3dfc41d973948a0)
якщо послідовності комплекснозначні, і
![{\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab1fd158e9a3b6fa791bbe77fddc3d68a765dd0)
якщо вони дійсні.
Простір, дуальний
, де
ізоморфний
,
.
Див. також
Література
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.