Pascal özdeşliği

Matematikte, Pascal özdeşliği binom katsayılarıyla ilgili kombinasyonel bir özdeşliktir. Bu özdeşliğe göre her n doğal sayısı için,

${\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n}$

burada ${\displaystyle {n \choose k}}$ binom katsayısı olarak adlandırılır. Pascal özdeşliği şu şekilde de yazılabilir:

${\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}\quad {\text{for }}1\leq k\leq n+1}$

Cebirsel ispat

${\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}+{n \choose k-1}&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}\\&=n!\left[{\frac {n+1-k}{k!(n+1-k)!}}+{\frac {k}{k!(n+1-k)!}}\right]\\&={\frac {n!(n+1)}{k!(n+1-k)!}}={\binom {n+1}{k}}\end{aligned}}}$

Genel hali

Eğer ${\displaystyle n,k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p},p\in \mathbb {N} ^{*}\,\!}$ ve ${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\,\!}$. Öyleyse,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}$

Ayrıca bakınız

• Pascal üçgeni