Köşeli yuvarlak

Orijinde ( a = b = 0 ) merkezli, r = 1 küçük yarıçaplı yuvarlatılmış dikdörtgen r = 1 : x4 + y4 = 1

Köşeli yuvarlak, kare ve daire arasındaki bir ara şekildir. Kullanımda olan en az iki "Köşeli yuvarlak" tanımı vardır ve bunların en yaygını süper elipse dayanmaktadır. Köşeli yuvarlaklar tasarım ve optikte uygulanmıştır.

Süper elips tabanlı köşeli yuvarlak

Kartezyen koordinat sisteminde, süper elips şu denklemle tanımlanır:

| x − a r a | n + | y − b r b | n = 1 , {\displaystyle \left|{\frac {x-a}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {y-b}{r_{b}}}\right|^{n}=1,}
Burada ra ve rb yarı-büyük ve yarı-küçük eksenlerdir, a ve b elipsin merkezinin x ve y koordinatlarıdır ve n pozitif bir sayıdır. O zaman yuvarlatılmış dikdörtgen ra = rb ve n = 4 olan bir süper elips olarak tanımlanır. Denklemi:[1]
( x − a ) 4 + ( y − b ) 4 = r 4 {\displaystyle \left(x-a\right)^{4}+\left(y-b\right)^{4}=r^{4}}
Burada r yuvarlatılmış dikdörtgenin küçük yarıçapıdır. Bunu bir çemberin denklemiyle karşılaştırın. Yuvarlatılmış dikdörtgen orijinde ortalandığında, a = b = 0 olur ve buna Lamé'nin özel dörtleniği denir.

Yuvarlatılmış dikdörtgen içindeki alan, gama fonksiyonu Γ cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:[1]

A l a n = 4 r 2 ( Γ ⁡ ( 1 + 1 4 ) ) 2 Γ ⁡ ( 1 + 2 4 ) = 8 r 2 ( Γ ⁡ ( 5 4 ) ) 2 π = ϖ 2 r 2 ≈ 3.708149 r 2 , {\displaystyle \mathrm {Alan} =4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}=\varpi {\sqrt {2}}\,r^{2}\approx 3.708149\,r^{2},}
Burada r, yuvarlatılmış dikdörtgenin küçük yarıçapıdır ve ϖ {\displaystyle \varpi } = Gauss sabiti * π {\displaystyle \pi } 'dir.

p -norm gösterimi

R2 üzerinde p-norm ‖ · ‖p cinsinden, köşeli yuvarlak şu şekilde ifade edilebilir:

‖ x − x c ‖ p = r {\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{c}\right\|_{p}=r}
Burada p = 4, xc = (a, b) köşeli yuvarlağın merkezini gösteren vektördür ve x = (x, y)'dir. Sonuç olarak, bu hala merkezden r mesafesindeki noktaların oluşturduğu bir "çember"dir, ancak mesafe farklı şekilde tanımlanır. Karşılaştıracak olunursa, alışılmış daire için p = 2'dir, oysa kare için p → ∞ verilir (supremum normu) ve döndürülmüş bir kare için p = 1 verilir (Manhattan normu). Bu R3 küresel bir kübe veya daha yüksek boyutlardaki hiper küresel küplere basit bir genelleme sağlar.[2]

Benzer şekiller

Yuvarlatılmış bir kareye (mavi) kıyasla bir köşeli yuvarlak (kırmızı). (Daha büyük görsel)
Çeşitli kesilmiş çember biçimleri

Kaynakça

  1. ^ a b Eric W. Weisstein, Köşeli yuvarlak (MathWorld)
  2. ^ Chamberlain Fong (2016). "Squircular Calculations". arXiv:1604.02174 $2. 

Dış bağlantılar

  • YouTube'da What is the area of a Squircle? by Matt Parker
  • Süperçember ve süper elips için çevrim içi hesap makinesi 2 Şubat 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • Web tabanı süperçember yapıcı