Euler toplaması

Euler toplamı, yakınsak ve ıraksak diziler için kullanılan bir toplam yöntemidir. Bir Σan dizisinin Euler dönüşümü bir değere yakınsıyorsa bu değer Euler toplamı olarak adlandırılır.

q ≥ 0 olmak koşuluyla Euler toplamı, (E, q) olarak gösterilen genel bir yöntemler kümesi içinde sayılabilir. (E, 0) olağan (yakınsak) toplamı belirtirken (E, 1) olağan Euler toplamını ifade etmektedir. Bu yöntemlerin tümü Borel toplamından güçsüzken q > 0 için Abel toplamıyla karşılaştırılamazlar.

Tanım

Euler toplamı, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırmak amacıyla kullanılmaktadır. Yöntem, ıraksak toplamların hesaplanmasını da olanaklı kılmaktadır.

E y ∑ j = 0 ∞ a j := ∑ i = 0 ∞ 1 ( 1 + y ) i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) y j + 1 a j = lim n → ∞ ∑ j = 0 n a j ⋅ y j + 1 ∑ i = j n ( i j ) ( 1 + y ) i + 1 {\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}y^{j+1}a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}a_{j}\cdot y^{j+1}\sum _{i=j}^{n}{\frac {i \choose j}{(1+y)^{i+1}}}}

Bu yöntem yineleme yoluyla uygulanamamaktadır. Bunun nedeni

E y 1 ∑ E y 2 ∑ = E y 1 y 2 1 + y 1 + y 2 ∑ {\displaystyle _{E_{y_{1}}}\sum \,_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum }

eşitliğinin sağlanıyor oluşudur.

Örnekler

  • P k {\displaystyle P_{k}} k dereceli bir polinom ise ∑ j = 0 ∞ ( − 1 ) j P k ( j ) = ∑ i = 0 k 1 2 i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) ( − 1 ) j P k ( j ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}P_{k}(j)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{j}P_{k}(j)} eşitliği sağlanır. Euler toplamının burada yaptığı, bir sonsuz diziyi sonlu diziye dönüştürmektir.
  • p k ( j ) := ( j + 1 ) k {\displaystyle p_{k}(j):=(j+1)^{k}} gibi bir seçim, ifadeyi doğrudan Bernoulli sayılarına götürmektedir.
ζ ( − k ) = − B k + 1 k + 1 = 1 1 − 2 k + 1 ∑ i = 0 k 1 2 i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) ( − 1 ) j ( j + 1 ) k {\displaystyle \zeta (-k)=-{\frac {B_{k+1}}{k+1}}={\frac {1}{1-2^{k+1}}}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{2^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{j}(j+1)^{k}}

Burada k {\displaystyle k} bir tam sayıyı, ζ ise Riemann zeta işlevini göstermektedir.

  • ∑ j = 0 ∞ z j = ∑ i = 0 ∞ 1 ( 1 + y ) i + 1 ∑ j = 0 i ( i j ) y j + 1 z j = y 1 + y ∑ i = 0 ( 1 + y z 1 + y ) i {\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }z^{j}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}y^{j+1}z^{j}={\frac {y}{1+y}}\sum _{i=0}\left({\frac {1+yz}{1+y}}\right)^{i}}

Uygun y {\displaystyle y} değerleri için dizi 1 1 − z {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}} 'ye yakınsamaktadır.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  • Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. ISBN 3-540-21058-X. 
  • Shawyer, Bruce & Bruce Watson (1994). Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. ISBN 0-19-853585-6.